Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 3 - \frac{y}{x}$

Étape 1

Laissez $V = \frac{y}{x}$ . Remplacez $\frac{y}{x}$ par $V$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 - V$

Étape 2

Résolvez $V = \frac{y}{x}$ pour $y$ .

$y = V x$

Étape 3

Utilisez la règle de produit pour déterminer la dérivée de $y = V x$ par rapport à $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Étape 4

Remplacez $\frac{d y}{d x}$ par $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = 3 - V$

Étape 5

Résolvez l’équation différentielle remplacée.

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Étape 5.1

Séparez les variables.

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Étape 5.1.1

Résolvez $\frac{d V}{d x}$ .

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Étape 5.1.1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d V}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1.1.1.1

Soustrayez $V$ des deux côtés de l’équation.

$x \frac{d V}{d x} = 3 - V - V$

Étape 5.1.1.1.2

Soustrayez $V$ de $- V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 3 - 2 V$

Étape 5.1.1.2

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = 3 - 2 V$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 5.1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = 3 - 2 V$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{3}{x} + \frac{- 2 V}{x}$

Étape 5.1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{3}{x} + \frac{- 2 V}{x}$

Étape 5.1.1.2.2.1.2

Divisez $\frac{d V}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{3}{x} + \frac{- 2 V}{x}$

Étape 5.1.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1.1.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d V}{d x} = \frac{3}{x} - \frac{2 V}{x}$

Étape 5.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d V}{d x} = \frac{3 - 2 V}{x}$

Étape 5.1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{3 - 2 V}$ .

$\frac{1}{3 - 2 V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{3 - 2 V} \cdot \frac{3 - 2 V}{x}$

Étape 5.1.4

Annulez le facteur commun de $3 - 2 V$ .

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Étape 5.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3 - 2 V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{3 - 2 V} \cdot \frac{3 - 2 V}{x}$

Étape 5.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3 - 2 V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Étape 5.1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{3 - 2 V} d V = \frac{1}{x} d x$

Étape 5.2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 5.2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{3 - 2 V} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 5.2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Laissez $u = 3 - 2 V$ . Alors $d u = - 2 d V$ , donc $- \frac{1}{2} d u = d V$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Laissez $u = 3 - 2 V$ . Déterminez $\frac{d u}{d V}$ .

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Étape 5.2.2.1.1.1

Différenciez $3 - 2 V$ .

$\frac{d}{d V} [3 - 2 V]$

Étape 5.2.2.1.1.2

Différenciez.

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Étape 5.2.2.1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 - 2 V$ par rapport à $V$ est $\frac{d}{d V} [3] + \frac{d}{d V} [- 2 V]$ .

$\frac{d}{d V} [3] + \frac{d}{d V} [- 2 V]$

Étape 5.2.2.1.1.2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $V$ , la dérivée de $3$ par rapport à $V$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d V} [- 2 V]$

Étape 5.2.2.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d V} [- 2 V]$ .

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Étape 5.2.2.1.1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $V$ , la dérivée de $- 2 V$ par rapport à $V$ est $- 2 \frac{d}{d V} [V]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d V} [V]$

Étape 5.2.2.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ est $n V^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Étape 5.2.2.1.1.3.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$0 - 2$

Étape 5.2.2.1.1.4

Soustrayez $2$ de $0$ .

$- 2$

Étape 5.2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez

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Étape 5.2.2.2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 5.2.2.2.2

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 5.2.2.2.3

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$\int - \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 5.2.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 5.2.2.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 5.2.2.5

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 5.2.2.6

Simplifiez

$- \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 5.2.2.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 - 2 V$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 V |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 5.2.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 V |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 5.2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 V |) = \ln (| x |) + C$

Étape 5.3

Résolvez $V$ .

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Étape 5.3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 V |)) = - 2 (\ln (| x |) + C)$

Étape 5.3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 5.3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1.1

Simplifiez $- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 V |))$ .

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Étape 5.3.2.1.1.1

Associez $\ln (| 3 - 2 V |)$ et $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (| 3 - 2 V |)}{2}) = - 2 (\ln (| x |) + C)$

Étape 5.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.1.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\ln (| 3 - 2 V |)}{2}$ dans le numérateur.

$- 2 \frac{- \ln (| 3 - 2 V |)}{2} = - 2 (\ln (| x |) + C)$

Étape 5.3.2.1.1.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \ln (| 3 - 2 V |)}{2} = - 2 (\ln (| x |) + C)$

Étape 5.3.2.1.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 3 - 2 V |)}{2} = - 2 (\ln (| x |) + C)$

Étape 5.3.2.1.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$- - \ln (| 3 - 2 V |) = - 2 (\ln (| x |) + C)$

Étape 5.3.2.1.1.3

Multipliez.

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Étape 5.3.2.1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \ln (| 3 - 2 V |) = - 2 (\ln (| x |) + C)$

Étape 5.3.2.1.1.3.2

Multipliez $\ln (| 3 - 2 V |)$ par $1$ .

$\ln (| 3 - 2 V |) = - 2 (\ln (| x |) + C)$

Étape 5.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| 3 - 2 V |) = - 2 \ln (| x |) - 2 C$

Étape 5.3.3

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| 3 - 2 V |) + 2 \ln (| x |) = - 2 C$

Étape 5.3.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.4.1

Simplifiez $\ln (| 3 - 2 V |) + 2 \ln (| x |)$ .

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Étape 5.3.4.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.4.1.1.1

Simplifiez $2 \ln (| x |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\ln (| 3 - 2 V |) + \ln ({| x |}^{2}) = - 2 C$

Étape 5.3.4.1.1.2

Retirez la valeur absolue dans ${| x |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$\ln (| 3 - 2 V |) + \ln (x^{2}) = - 2 C$

Étape 5.3.4.1.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 3 - 2 V | x^{2}) = - 2 C$

Étape 5.3.4.1.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\ln (| 3 - 2 V | x^{2})$ .

$\ln (x^{2} | 3 - 2 V |) = - 2 C$

Étape 5.3.5

Pour résoudre $V$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (x^{2} | 3 - 2 V |)} = e^{- 2 C}$

Étape 5.3.6

Réécrivez $\ln (x^{2} | 3 - 2 V |) = - 2 C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 C} = x^{2} | 3 - 2 V |$

Étape 5.3.7

Résolvez $V$ .

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Étape 5.3.7.1

Réécrivez l’équation comme $x^{2} | 3 - 2 V | = e^{- 2 C}$ .

$x^{2} | 3 - 2 V | = e^{- 2 C}$

Étape 5.3.7.2

Divisez chaque terme dans $x^{2} | 3 - 2 V | = e^{- 2 C}$ par $x^{2}$ et simplifiez.

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Étape 5.3.7.2.1

Divisez chaque terme dans $x^{2} | 3 - 2 V | = e^{- 2 C}$ par $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} | 3 - 2 V |}{x^{2}} = \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}$

Étape 5.3.7.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.7.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 5.3.7.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} | 3 - 2 V |}{x^{2}} = \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}$

Étape 5.3.7.2.2.1.2

Divisez $| 3 - 2 V |$ par $1$ .

$| 3 - 2 V | = \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}$

Étape 5.3.7.3

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$3 - 2 V = \pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}$

Étape 5.3.7.4

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 V = \pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}} - 3$

Étape 5.3.7.5

Divisez chaque terme dans $- 2 V = \pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}} - 3$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 5.3.7.5.1

Divisez chaque terme dans $- 2 V = \pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}} - 3$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 V}{- 2} = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

Étape 5.3.7.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.7.5.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 5.3.7.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 V}{- 2} = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

Étape 5.3.7.5.2.1.2

Divisez $V$ par $1$ .

$V = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

Étape 5.3.7.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.7.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.7.5.3.1.1

Simplifiez $\frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{- 2}$ .

$V = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{2} + \frac{- 3}{- 2}$

Étape 5.3.7.5.3.1.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$V = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{2} + \frac{3}{2}$

Étape 5.4

Regroupez les termes constants.

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Étape 5.4.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$V = \frac{\pm \frac{C}{x^{2}}}{2} + \frac{3}{2}$

Étape 5.4.2

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$V = \frac{C \frac{1}{x^{2}}}{2} + \frac{3}{2}$

Étape 6

Remplacez $V$ par $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = \frac{C \frac{1}{x^{2}}}{2} + \frac{3}{2}$

Étape 7

Résolvez $\frac{y}{x} = \frac{C \frac{1}{x^{2}}}{2} + \frac{3}{2}$ pour $y$ .

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Étape 7.1

Multipliez les deux côtés par $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\frac{C (\frac{1}{x^{2}})}{2} + \frac{3}{2}) x$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 7.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{x} x = (\frac{C (\frac{1}{x^{2}})}{2} + \frac{3}{2}) x$

Étape 7.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = (\frac{C (\frac{1}{x^{2}})}{2} + \frac{3}{2}) x$

Étape 7.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.2.1

Simplifiez $(\frac{C (\frac{1}{x^{2}})}{2} + \frac{3}{2}) x$ .

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Étape 7.2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.2.1.1.1

Associez $C$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$y = (\frac{\frac{C}{x^{2}}}{2} + \frac{3}{2}) x$

Étape 7.2.2.1.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = (\frac{C}{x^{2}} \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{2}) x$

Étape 7.2.2.1.1.3

Associez.

$y = (\frac{C \cdot 1}{x^{2} \cdot 2} + \frac{3}{2}) x$

Étape 7.2.2.1.1.4

Multipliez $C$ par $1$ .

$y = (\frac{C}{x^{2} \cdot 2} + \frac{3}{2}) x$

Étape 7.2.2.1.1.5

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$y = (\frac{C}{2 x^{2}} + \frac{3}{2}) x$

Étape 7.2.2.1.2

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{C}{2 x^{2}} x + \frac{3}{2} x$

Étape 7.2.2.1.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 7.2.2.1.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x^{2}$ .

$y = \frac{C}{x (2 x)} x + \frac{3}{2} x$

Étape 7.2.2.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{C}{x (2 x)} x + \frac{3}{2} x$

Étape 7.2.2.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{C}{2 x} + \frac{3}{2} x$

Étape 7.2.2.1.2.3

Associez $\frac{3}{2}$ et $x$ .

$y = \frac{C}{2 x} + \frac{3 x}{2}$

Étape 7.2.2.1.2.4

Remettez dans l’ordre $\frac{C}{2 x}$ et $\frac{3 x}{2}$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{C}{2 x}$