Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 16 e^{- 4 x}$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = 16 e^{- 4 x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int 16 e^{- 4 x} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int 16 e^{- 4 x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , placez $16$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 16 \int e^{- 4 x} d x$

Étape 2.3.2

Laissez $u = - 4 x$ . Alors $d u = - 4 d x$ , donc $- \frac{1}{4} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.2.1

Laissez $u = - 4 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Différenciez $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Étape 2.3.2.1.2

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Étape 2.3.2.1.4

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$- 4$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$y + C_{1} = 16 \int e^{u} \frac{1}{- 4} d u$

Étape 2.3.3

Simplifiez

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Étape 2.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y + C_{1} = 16 \int e^{u} (- \frac{1}{4}) d u$

Étape 2.3.3.2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = 16 \int - \frac{e^{u}}{4} d u$

Étape 2.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 16 (- \int \frac{e^{u}}{4} d u)$

Étape 2.3.5

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$y + C_{1} = - 16 \int \frac{e^{u}}{4} d u$

Étape 2.3.6

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = - 16 (\frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Étape 2.3.7

Simplifiez

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Étape 2.3.7.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $- 16$ .

$y + C_{1} = \frac{- 16}{4} \int e^{u} d u$

Étape 2.3.7.2

Annulez le facteur commun à $- 16$ et $4$ .

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Étape 2.3.7.2.1

Factorisez $4$ à partir de $- 16$ .

$y + C_{1} = \frac{4 \cdot - 4}{4} \int e^{u} d u$

Étape 2.3.7.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.7.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$y + C_{1} = \frac{4 \cdot - 4}{4 (1)} \int e^{u} d u$

Étape 2.3.7.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y + C_{1} = \frac{4 \cdot - 4}{4 \cdot 1} \int e^{u} d u$

Étape 2.3.7.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y + C_{1} = \frac{- 4}{1} \int e^{u} d u$

Étape 2.3.7.2.2.4

Divisez $- 4$ par $1$ .

$y + C_{1} = - 4 \int e^{u} d u$

Étape 2.3.8

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$y + C_{1} = - 4 (e^{u} + C_{2})$

Étape 2.3.9

Simplifiez

$y + C_{1} = - 4 e^{u} + C_{2}$

Étape 2.3.10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 4 x$ .

$y + C_{1} = - 4 e^{- 4 x} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = - 4 e^{- 4 x} + K$