Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} y = x^{2}$

Étape 1

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = - \frac{1}{x}$ .

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Étape 1.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Étape 1.2

Intégrez $- \frac{1}{x}$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 1.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Étape 1.2.3

Simplifiez

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Étape 1.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- \ln (x)}$

Étape 1.4

Utilisez la règle de puissance logarithmique.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Étape 1.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$x^{- 1}$

Étape 1.6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Étape 2

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $\frac{1}{x}$ .

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} x^{2}$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Associez $\frac{1}{x}$ et $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} x^{2}$

Étape 2.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} x^{2}$

Étape 2.2.3

Associez $\frac{1}{x}$ et $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} x^{2}$

Étape 2.2.4

Multipliez $- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ .

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Étape 2.2.4.1

Multipliez $\frac{y}{x}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} x^{2}$

Étape 2.2.4.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} x^{2}$

Étape 2.2.4.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} x^{2}$

Étape 2.2.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} x^{2}$

Étape 2.2.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} x^{2}$

Étape 2.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x \cdot x)$

Étape 2.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x \cdot x)$

Étape 2.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = x$

Étape 3

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = x$

Étape 4

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int x d x$

Étape 5

Intégrez le côté gauche.

$\frac{1}{x} y = \int x d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{x} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 7

Résolvez $y$ .

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Étape 7.1

Associez $\frac{1}{x}$ et $y$ .

$\frac{y}{x} = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{y}{x} = \frac{x^{2}}{2} + C$

Étape 7.3

Multipliez les deux côtés par $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\frac{x^{2}}{2} + C) x$

Étape 7.4

Simplifiez

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Étape 7.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.4.1.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 7.4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{x} x = (\frac{x^{2}}{2} + C) x$

Étape 7.4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = (\frac{x^{2}}{2} + C) x$

Étape 7.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.4.2.1

Simplifiez $(\frac{x^{2}}{2} + C) x$ .

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Étape 7.4.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{x^{2}}{2} x + C x$

Étape 7.4.2.1.2

Multipliez $\frac{x^{2}}{2} x$ .

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Étape 7.4.2.1.2.1

Associez $\frac{x^{2}}{2}$ et $x$ .

$y = \frac{x^{2} x}{2} + C x$

Étape 7.4.2.1.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.4.2.1.2.2.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 7.4.2.1.2.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{x^{2} x^{1}}{2} + C x$

Étape 7.4.2.1.2.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{x^{2 + 1}}{2} + C x$

Étape 7.4.2.1.2.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{2} + C x$