Calcul infinitésimal Exemples

$x d y = (x \sin (x) - y) d x$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle pour respecter la technique de l’équation différentielle exacte.

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Étape 1.1

Soustrayez $(x \sin (x) - y) d x$ des deux côtés de l’équation.

$x d y - (x \sin (x) - y) d x = 0$

Étape 1.2

Réécrivez.

$- (x \sin (x) - y) d x + x d y = 0$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = - (x \sin (x) - y)$ .

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Étape 2.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (x \sin (x) - y)]$

Étape 2.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- (x \sin (x) - y)$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [x \sin (x) - y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [x \sin (x) - y]$

Étape 2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x \sin (x) - y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x \sin (x)] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [x \sin (x)] + \frac{d}{d y} [- y])$

Étape 2.4

Comme $x \sin (x)$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x \sin (x)$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (0 + \frac{d}{d y} [- y])$

Étape 2.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [- y]$

Étape 2.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - - \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.7

Multipliez.

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Étape 2.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.7.2

Multipliez $\frac{d}{d y} [y]$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Étape 3

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = x$ .

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Étape 3.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Étape 4

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $1$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $1$ .

$1 = 1$

Étape 4.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$1 = 1$ est une identité.

Étape 5

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x d y$

Étape 6

Intégrez $N (x, y) = x$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 6.1

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = x y + C$

Étape 7

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = x y + g (x)$

Étape 8

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - (x \sin (x) - y)$

Étape 9

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 9.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [x y + g (x)] = - (x \sin (x) - y)$

Étape 9.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x y + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (x \sin (x) - y)$

Étape 9.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Étape 9.3.1

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x y$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (x \sin (x) - y)$

Étape 9.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (x \sin (x) - y)$

Étape 9.3.3

Multipliez $y$ par $1$ .

$y + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (x \sin (x) - y)$

Étape 9.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$y + \frac{d g}{d x} = - (x \sin (x) - y)$

Étape 9.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + y = - (x \sin (x) - y)$

Étape 10

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 10.1

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 10.1.1

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.1.1.1

Simplifiez $- (x \sin (x) - y)$ .

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Étape 10.1.1.1.1

Réécrivez.

$\frac{d g}{d x} + y = 0 + 0 - (x \sin (x) - y)$

Étape 10.1.1.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$\frac{d g}{d x} + y = - (x \sin (x) - y)$

Étape 10.1.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d g}{d x} + y = - (x \sin (x)) - - y$

Étape 10.1.1.1.4

Multipliez $- - y$ .

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Étape 10.1.1.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + y = - x \sin (x) + 1 y$

Étape 10.1.1.1.4.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$\frac{d g}{d x} + y = - x \sin (x) + y$

Étape 10.1.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 10.1.2.1

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = - x \sin (x) + y - y$

Étape 10.1.2.2

Associez les termes opposés dans $- x \sin (x) + y - y$ .

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Étape 10.1.2.2.1

Soustrayez $y$ de $y$ .

$\frac{d g}{d x} = - x \sin (x) + 0$

Étape 10.1.2.2.2

Additionnez $- x \sin (x)$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - x \sin (x)$

Étape 11

Déterminez la primitive de $- x \sin (x)$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 11.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = - x \sin (x)$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x \sin (x) d x$

Étape 11.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - x \sin (x) d x$

Étape 11.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = - \int x \sin (x) d x$

Étape 11.4

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = \sin (x)$ .

$g (x) = - (x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x)$

Étape 11.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = - (x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x)$

Étape 11.6

Simplifiez

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Étape 11.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$g (x) = - (x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x)$

Étape 11.6.2

Multipliez $\int \cos (x) d x$ par $1$ .

$g (x) = - (x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x)$

Étape 11.7

L’intégrale de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $\sin (x)$ .

$g (x) = - (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C)$

Étape 11.8

Réécrivez $- (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C)$ comme $- (- x \cos (x) + \sin (x)) + C$ .

$g (x) = - (- x \cos (x) + \sin (x)) + C$

Étape 12

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = x y + g (x)$ .

$f (x, y) = x y - (- x \cos (x) + \sin (x)) + C$

Étape 13

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x, y) = x y - (- x \cos (x)) - \sin (x) + C$

Étape 13.2

Multipliez $- (- x \cos (x))$ .

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Étape 13.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (x, y) = x y + 1 (x \cos (x)) - \sin (x) + C$

Étape 13.2.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (x, y) = x y + x \cos (x) - \sin (x) + C$