Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} - 3 y = \frac{1}{2} e^{x}$

Étape 1

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = - 3$ .

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Étape 1.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int - 3 d x}$

Étape 1.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{- 3 x + C}$

Étape 1.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- 3 x}$

Étape 2

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{- 3 x}$ .

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme par $e^{- 3 x}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 3 x} (- 3 y) = e^{- 3 x} (\frac{1}{2} e^{x})$

Étape 2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{- 3 x} (\frac{1}{2} e^{x})$

Étape 2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} e^{- 3 x} e^{x}$

Étape 2.4

Multipliez $e^{- 3 x}$ par $e^{x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.1

Déplacez $e^{x}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} (e^{x} e^{- 3 x})$

Étape 2.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} e^{x - 3 x}$

Étape 2.4.3

Soustrayez $3 x$ de $x$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} e^{- 2 x}$

Étape 2.5

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{- 2 x}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = \frac{e^{- 2 x}}{2}$

Étape 2.6

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = \frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 y e^{- 3 x} = \frac{e^{- 2 x}}{2}$

Étape 3

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{- 3 x} y] = \frac{e^{- 2 x}}{2}$

Étape 4

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 3 x} y] d x = \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$

Étape 5

Intégrez le côté gauche.

$e^{- 3 x} y = \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$

Étape 6

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x$

Étape 6.2

Laissez $u = - 2 x$ . Alors $d u = - 2 d x$ , donc $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.2.1

Laissez $u = - 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 6.2.1.1

Différenciez $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 6.2.1.2

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2$

Étape 6.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Étape 6.3

Simplifiez

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Étape 6.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Étape 6.3.2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u$

Étape 6.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

Étape 6.5

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

Étape 6.6

Simplifiez

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Étape 6.6.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 3 x} y = - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u$

Étape 6.6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$e^{- 3 x} y = - \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

Étape 6.7

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$e^{- 3 x} y = - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

Étape 6.8

Simplifiez

$e^{- 3 x} y = - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Étape 6.9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 2 x$ .

$e^{- 3 x} y = - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $e^{- 3 x} y = - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$ par $e^{- 3 x}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $e^{- 3 x} y = - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$ par $e^{- 3 x}$ .

$\frac{e^{- 3 x} y}{e^{- 3 x}} = \frac{- \frac{1}{4} e^{- 2 x}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{- 3 x}$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{- 3 x} y}{e^{- 3 x}} = \frac{- \frac{1}{4} e^{- 2 x}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- \frac{1}{4} e^{- 2 x}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.3.1.1

Annulez le facteur commun à $e^{- 2 x}$ et $e^{- 3 x}$ .

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Étape 7.3.1.1.1

Factorisez $e^{- 3 x}$ à partir de $- \frac{1}{4} e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{e^{- 3 x} (- \frac{1}{4} e^{x})}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Étape 7.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.3.1.1.2.1

Multipliez par $1$ .

$y = \frac{e^{- 3 x} (- \frac{1}{4} e^{x})}{e^{- 3 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Étape 7.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{e^{- 3 x} (- \frac{1}{4} e^{x})}{e^{- 3 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Étape 7.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{- \frac{1}{4} e^{x}}{1} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Étape 7.3.1.1.2.4

Divisez $- \frac{1}{4} e^{x}$ par $1$ .

$y = - \frac{1}{4} e^{x} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Étape 7.3.1.2

Associez $e^{x}$ et $\frac{1}{4}$ .

$y = - \frac{e^{x}}{4} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$