Calcul infinitésimal Exemples

$(y - x) d x + 4 x d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = y - x$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y - x]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y - x$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \frac{d}{d y} [- x]$

Étape 1.4

Comme $- x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 0$

Étape 1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = 4 x$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 2.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 \cdot 1$

Étape 2.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $1$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $4$ .

$1 = 4$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$1 = 4$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $1$ .

$\frac{1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $4$ .

$\frac{1 - 4}{N}$

Étape 4.3

Remplacez $N$ par $4 x$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $N$ par $4 x$ .

$\frac{1 - 4}{4 x}$

Étape 4.3.2

Soustrayez $4$ de $1$ .

$\frac{- 3}{4 x}$

Étape 4.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{4 x}$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{4 x} d x}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int - \frac{3}{4 x} d x}$ .

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Étape 5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{4 x} d x}$

Étape 5.2

Comme $\frac{3}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{3}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- (\frac{3}{4} \int \frac{1}{x} d x)}$

Étape 5.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{4} (\ln (| x |) + C)}$

Étape 5.4

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{4} \ln (| x |)} + C$

Étape 5.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.1

Multipliez $- \frac{3}{4} \ln (| x |)$ .

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Étape 5.5.1.1

Remettez dans l’ordre $\ln (| x |)$ et $\frac{3}{4}$ .

$μ (x, y) = e^{- (\frac{3}{4} \ln (| x |))} + C$

Étape 5.5.1.2

Simplifiez $\frac{3}{4} \ln (| x |)$ en déplaçant $\frac{3}{4}$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{- \ln ({| x |}^{\frac{3}{4}})} + C$

Étape 5.5.2

Simplifiez $- \ln ({| x |}^{\frac{3}{4}})$ en déplaçant $- 1$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({({| x |}^{\frac{3}{4}})}^{- 1})} + C$

Étape 5.5.3

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {({| x |}^{\frac{3}{4}})}^{- 1} + C$

Étape 5.5.4

Multipliez les exposants dans ${({| x |}^{\frac{3}{4}})}^{- 1}$ .

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Étape 5.5.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{3}{4} \cdot - 1} + C$

Étape 5.5.4.2

Multipliez $\frac{3}{4} \cdot - 1$ .

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Étape 5.5.4.2.1

Associez $\frac{3}{4}$ et $- 1$ .

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{3 \cdot - 1}{4}} + C$

Étape 5.5.4.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{- 3}{4}} + C$

Étape 5.5.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$μ (x, y) = {| x |}^{- \frac{3}{4}} + C$

Étape 5.5.5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{\frac{3}{4}}} + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $(y - x) d x + 4 x d y = 0$ par le facteur d’intégration $\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$ .

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Étape 6.1

Multipliez $y - x$ par $\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$ .

$(y - x) \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} d x + 4 x d y = 0$

Étape 6.2

Multipliez $y - x$ par $\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$ .

$\frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}} d x + 4 x d y = 0$

Étape 6.3

Multipliez $4 x$ par $\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$ .

$\frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}} d x + 4 x \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} d y = 0$

Étape 6.4

Multipliez $4 x \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$ .

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Étape 6.4.1

Associez $4$ et $\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$ .

$\frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}} d x + x \frac{4}{x^{\frac{3}{4}}} d y = 0$

Étape 6.4.2

Associez $x$ et $\frac{4}{x^{\frac{3}{4}}}$ .

$\frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}} d x + \frac{x \cdot 4}{x^{\frac{3}{4}}} d y = 0$

Étape 6.5

Placez $x^{\frac{3}{4}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}} d x + x \cdot 4 x^{- \frac{3}{4}} d y = 0$

Étape 6.6

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{3}{4}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.6.1

Déplacez $x^{- \frac{3}{4}}$ .

$\frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}} d x + x^{- \frac{3}{4}} x \cdot 4 d y = 0$

Étape 6.6.2

Multipliez $x^{- \frac{3}{4}}$ par $x$ .

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Étape 6.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}} d x + x^{- \frac{3}{4}} x^{1} \cdot 4 d y = 0$

Étape 6.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}} d x + x^{- \frac{3}{4} + 1} \cdot 4 d y = 0$

Étape 6.6.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}} d x + x^{- \frac{3}{4} + \frac{4}{4}} \cdot 4 d y = 0$

Étape 6.6.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}} d x + x^{\frac{- 3 + 4}{4}} \cdot 4 d y = 0$

Étape 6.6.5

Additionnez $- 3$ et $4$ .

$\frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}} d x + x^{\frac{1}{4}} \cdot 4 d y = 0$

Étape 6.7

Déplacez $4$ à gauche de $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}} d x + 4 x^{\frac{1}{4}} d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 4 x^{\frac{1}{4}} d y$

Étape 8

Intégrez $N (x, y) = 4 x^{\frac{1}{4}}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = 4 x^{\frac{1}{4}} y + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = 4 x^{\frac{1}{4}} y + g (x)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{4}} y + g (x)] = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{\frac{1}{4}} y + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{4}} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{4}} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{4}} y]$ .

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Étape 11.3.1

Comme $4 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{\frac{1}{4}} y$ par rapport à $x$ est $4 y \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}]$ .

$4 y \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Étape 11.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{4}$ .

$4 y (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Étape 11.3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$4 y (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Étape 11.3.4

Associez $- 1$ et $\frac{4}{4}$ .

$4 y (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Étape 11.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 y (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Étape 11.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$4 y (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Étape 11.3.6.2

Soustrayez $4$ de $1$ .

$4 y (\frac{1}{4} x^{\frac{- 3}{4}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Étape 11.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 y (\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Étape 11.3.8

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{- \frac{3}{4}}$ .

$4 y \frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Étape 11.3.9

Associez $4$ et $\frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4}$ .

$y \frac{4 x^{- \frac{3}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Étape 11.3.10

Associez $y$ et $\frac{4 x^{- \frac{3}{4}}}{4}$ .

$\frac{y (4 x^{- \frac{3}{4}})}{4} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Étape 11.3.11

Déplacez $4$ à gauche de $y$ .

$\frac{4 \cdot y x^{- \frac{3}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Étape 11.3.12

Placez $x^{- \frac{3}{4}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4 y}{4 x^{\frac{3}{4}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Étape 11.3.13

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 y}{4 x^{\frac{3}{4}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Étape 11.3.14

Réécrivez l’expression.

$\frac{y}{x^{\frac{3}{4}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Étape 11.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{y}{x^{\frac{3}{4}}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Étape 11.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x^{\frac{3}{4}}} = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 12.1

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 12.1.1

Simplifiez $\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x^{\frac{3}{4}}} - \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$ .

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Étape 12.1.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y - (y - x)}{x^{\frac{3}{4}}} = 0$

Étape 12.1.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y - y - - x}{x^{\frac{3}{4}}} = 0$

Étape 12.1.1.2.2

Multipliez $- - x$ .

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Étape 12.1.1.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y - y + 1 x}{x^{\frac{3}{4}}} = 0$

Étape 12.1.1.2.2.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y - y + x}{x^{\frac{3}{4}}} = 0$

Étape 12.1.1.3

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 12.1.1.3.1

Soustrayez $y$ de $y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{0 + x}{x^{\frac{3}{4}}} = 0$

Étape 12.1.1.3.2

Additionnez $0$ et $x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x}{x^{\frac{3}{4}}} = 0$

Étape 12.1.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.1.4.1

Placez $x^{\frac{3}{4}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{d g}{d x} + x \cdot x^{- \frac{3}{4}} = 0$

Étape 12.1.1.4.2

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{3}{4}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.1.1.4.2.1

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{3}{4}}$ .

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Étape 12.1.1.4.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d g}{d x} + x^{1} x^{- \frac{3}{4}} = 0$

Étape 12.1.1.4.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d g}{d x} + x^{1 - \frac{3}{4}} = 0$

Étape 12.1.1.4.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{d g}{d x} + x^{\frac{4}{4} - \frac{3}{4}} = 0$

Étape 12.1.1.4.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d g}{d x} + x^{\frac{4 - 3}{4}} = 0$

Étape 12.1.1.4.2.4

Soustrayez $3$ de $4$ .

$\frac{d g}{d x} + x^{\frac{1}{4}} = 0$

Étape 12.1.2

Déterminez un facteur commun $x^{\frac{1}{4}}$ présent dans chaque terme.

${({(\frac{d g}{d x})}^{\frac{1}{4}})}^{4} + x^{\frac{1}{4}}$

Étape 12.1.3

Remplacez $x^{\frac{1}{4}}$ par $u$ .

${({(\frac{d g}{d x})}^{\frac{1}{4}})}^{4} + u = 0$

Étape 12.1.4

Résolvez $u$ .

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Étape 12.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.4.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(\frac{d g}{d x})}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Étape 12.1.4.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{d g}{d x})}^{\frac{1}{4} \cdot 4} + u = 0$

Étape 12.1.4.1.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 12.1.4.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(\frac{d g}{d x})}^{\frac{1}{4} \cdot 4} + u = 0$

Étape 12.1.4.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(\frac{d g}{d x})}^{1} + u = 0$

Étape 12.1.4.1.2

Simplifiez

$\frac{d g}{d x} + u = 0$

Étape 12.1.4.2

Soustrayez $\frac{d g}{d x}$ des deux côtés de l’équation.

$u = - \frac{d g}{d x}$

Étape 12.1.5

Remplacez $u$ par $\frac{d g}{d x}$ .

$x^{\frac{1}{4}} = - \frac{d g}{d x}$

Étape 12.1.6

Soustrayez $x^{\frac{1}{4}}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = - x^{\frac{1}{4}}$

Étape 13

Déterminez la primitive de $- x^{\frac{1}{4}}$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = - x^{\frac{1}{4}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x^{\frac{1}{4}} d x$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - x^{\frac{1}{4}} d x$

Étape 13.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = - \int x^{\frac{1}{4}} d x$

Étape 13.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{4}}$ par rapport à $x$ est $\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}}$ .

$g (x) = - (\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} + C)$

Étape 13.5

Réécrivez $- (\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} + C)$ comme $- \frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} + C$ .

$g (x) = - \frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} + C$

Étape 14

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = 4 x^{\frac{1}{4}} y + g (x)$ .

$f (x, y) = 4 x^{\frac{1}{4}} y - \frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} + C$

Étape 15

Simplifiez $f (x, y) = 4 x^{\frac{1}{4}} y - \frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} + C$ .

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Étape 15.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.1.1

Associez $x^{\frac{5}{4}}$ et $\frac{4}{5}$ .

$f (x, y) = 4 x^{\frac{1}{4}} y - \frac{x^{\frac{5}{4}} \cdot 4}{5} + C$

Étape 15.1.2

Déplacez $4$ à gauche de $x^{\frac{5}{4}}$ .

$f (x, y) = 4 x^{\frac{1}{4}} y - \frac{4 x^{\frac{5}{4}}}{5} + C$

Étape 15.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $f (x, y) = 4 x^{\frac{1}{4}} y - \frac{4 x^{\frac{5}{4}}}{5} + C$ .

$f (x, y) = 4 y x^{\frac{1}{4}} - \frac{4 x^{\frac{5}{4}}}{5} + C$