Calcul infinitésimal Exemples

$y d x + 2 x d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $y d x$ des deux côtés de l’équation.

$2 x d y = - y d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} (2 x) d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Étape 3.2

Associez $2$ et $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{2}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x y$ .

$\frac{2}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Étape 3.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{y} d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Étape 3.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2}{y} d y = - \frac{1}{x y} y d x$

Étape 3.5

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 3.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x y}$ dans le numérateur.

$\frac{2}{y} d y = \frac{- 1}{x y} y d x$

Étape 3.5.2

Factorisez $y$ à partir de $x y$ .

$\frac{2}{y} d y = \frac{- 1}{y x} y d x$

Étape 3.5.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{y} d y = \frac{- 1}{y x} y d x$

Étape 3.5.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{y} d y = \frac{- 1}{x} d x$

Étape 3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2}{y} d y = - \frac{1}{x} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{2}{y} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$2 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.3

Simplifiez

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Étape 4.3.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Étape 4.3.3

Simplifiez

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$2 \ln (| y |) = - \ln (| x |) + C$

Étape 5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$2 \ln (| y |) + \ln (| x |) = C$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Simplifiez $2 \ln (| y |) + \ln (| x |)$ .

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Étape 5.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1.1

Simplifiez $2 \ln (| y |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\ln ({| y |}^{2}) + \ln (| x |) = C$

Étape 5.2.1.1.2

Retirez la valeur absolue dans ${| y |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$\ln (y^{2}) + \ln (| x |) = C$

Étape 5.2.1.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (y^{2} | x |) = C$

Étape 5.3

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (y^{2} | x |)} = e^{C}$

Étape 5.4

Réécrivez $\ln (y^{2} | x |) = C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{C} = y^{2} | x |$

Étape 5.5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.5.1

Réécrivez l’équation comme $y^{2} | x | = e^{C}$ .

$y^{2} | x | = e^{C}$

Étape 5.5.2

Divisez chaque terme dans $y^{2} | x | = e^{C}$ par $| x |$ et simplifiez.

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Étape 5.5.2.1

Divisez chaque terme dans $y^{2} | x | = e^{C}$ par $| x |$ .

$\frac{y^{2} | x |}{| x |} = \frac{e^{C}}{| x |}$

Étape 5.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $| x |$ .

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Étape 5.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2} | x |}{| x |} = \frac{e^{C}}{| x |}$

Étape 5.5.2.2.1.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = \frac{e^{C}}{| x |}$

Étape 5.5.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{\frac{e^{C}}{| x |}}$

Étape 5.5.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{e^{C}}{| x |}}$ .

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Étape 5.5.4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{e^{C}}{| x |}}$ comme $\frac{\sqrt{e^{C}}}{\sqrt{| x |}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}}}{\sqrt{| x |}}$

Étape 5.5.4.2

Multipliez $\frac{\sqrt{e^{C}}}{\sqrt{| x |}}$ par $\frac{\sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}}}{\sqrt{| x |}} \cdot \frac{\sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |}}$

Étape 5.5.4.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.5.4.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{e^{C}}}{\sqrt{| x |}}$ par $\frac{\sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |} \sqrt{| x |}}$

Étape 5.5.4.3.2

Élevez $\sqrt{| x |}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{{\sqrt{| x |}}^{1} \sqrt{| x |}}$

Étape 5.5.4.3.3

Élevez $\sqrt{| x |}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{{\sqrt{| x |}}^{1} {\sqrt{| x |}}^{1}}$

Étape 5.5.4.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{{\sqrt{| x |}}^{1 + 1}}$

Étape 5.5.4.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{{\sqrt{| x |}}^{2}}$

Étape 5.5.4.3.6

Réécrivez ${\sqrt{| x |}}^{2}$ comme $| x |$ .

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Étape 5.5.4.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{| x |}$ comme ${| x |}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{{({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.5.4.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{{| x |}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.5.4.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{{| x |}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.5.4.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.5.4.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{{| x |}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.5.4.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{{| x |}^{1}}$

Étape 5.5.4.3.6.5

Simplifiez

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x |}$

Étape 5.5.4.4

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x |}$

Étape 5.5.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.5.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x |}$

Étape 5.5.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x |}$

Étape 5.5.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x |}$

$y = - \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x |}$

$y = \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x |}$

$y = - \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x |}$

$y = \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x |}$

$y = - \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x |}$

$y = \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x |}$

$y = - \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x |}$

Étape 6

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\sqrt{C | x |}}{| x |}$

$y = - \frac{\sqrt{C | x |}}{| x |}$