Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 1}{e^{3 y + 9}}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $e^{3 y + 9}$ .

$e^{3 y + 9} \frac{d y}{d x} = e^{3 y + 9} \frac{x + 1}{e^{3 y + 9}}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $e^{3 y + 9}$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$e^{3 y + 9} \frac{d y}{d x} = e^{3 y + 9} \frac{x + 1}{e^{3 y + 9}}$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$e^{3 y + 9} \frac{d y}{d x} = x + 1$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$e^{3 y + 9} d y = (x + 1) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int e^{3 y + 9} d y = \int x + 1 d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u = 3 y + 9$ . Alors $d u = 3 d y$ , donc $\frac{1}{3} d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u = 3 y + 9$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $3 y + 9$ .

$\frac{d}{d y} [3 y + 9]$

Étape 2.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 y + 9$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [9]$ .

$\frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [9]$

Étape 2.2.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [3 y]$ .

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Étape 2.2.1.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3 y$ par rapport à $y$ est $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [9]$

Étape 2.2.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [9]$

Étape 2.2.1.1.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 + \frac{d}{d y} [9]$

Étape 2.2.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.2.1.1.4.1

Comme $9$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $9$ par rapport à $y$ est $0$ .

$3 + 0$

Étape 2.2.1.1.4.2

Additionnez $3$ et $0$ .

$3$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{3} d u = \int x + 1 d x$

Étape 2.2.2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{e^{u}}{3} d u = \int x + 1 d x$

Étape 2.2.3

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} \int e^{u} d u = \int x + 1 d x$

Étape 2.2.4

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} (e^{u} + C_{1}) = \int x + 1 d x$

Étape 2.2.5

Simplifiez

$\frac{1}{3} e^{u} + C_{1} = \int x + 1 d x$

Étape 2.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 y + 9$ .

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = \int x + 1 d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = \int x d x + \int d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int d x$

Étape 2.3.3

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + x + C_{3}$

Étape 2.3.4

Simplifiez

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + x + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} = \frac{1}{2} x^{2} + x + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $3$ .

$3 (\frac{1}{3} e^{3 y + 9}) = 3 (\frac{1}{2} x^{2} + x + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $3 (\frac{1}{3} e^{3 y + 9})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $e^{3 y + 9}$ .

$3 \frac{e^{3 y + 9}}{3} = 3 (\frac{1}{2} x^{2} + x + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{e^{3 y + 9}}{3} = 3 (\frac{1}{2} x^{2} + x + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$e^{3 y + 9} = 3 (\frac{1}{2} x^{2} + x + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $3 (\frac{1}{2} x^{2} + x + K)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$e^{3 y + 9} = 3 (\frac{x^{2}}{2} + x + K)$

Étape 3.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$e^{3 y + 9} = 3 \frac{x^{2}}{2} + 3 x + 3 K$

Étape 3.2.2.1.3

Associez $3$ et $\frac{x^{2}}{2}$ .

$e^{3 y + 9} = \frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K$

Étape 3.3

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{3 y + 9}) = \ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K)$

Étape 3.4

Développez le côté gauche.

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Étape 3.4.1

Développez $\ln (e^{3 y + 9})$ en déplaçant $3 y + 9$ hors du logarithme.

$(3 y + 9) \ln (e) = \ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K)$

Étape 3.4.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$(3 y + 9) \cdot 1 = \ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K)$

Étape 3.4.3

Multipliez $3 y + 9$ par $1$ .

$3 y + 9 = \ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K)$

Étape 3.5

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$3 y = \ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K) - 9$

Étape 3.6

Divisez chaque terme dans $3 y = \ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K) - 9$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.6.1

Divisez chaque terme dans $3 y = \ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K) - 9$ par $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K)}{3} + \frac{- 9}{3}$

Étape 3.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.6.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K)}{3} + \frac{- 9}{3}$

Étape 3.6.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K)}{3} + \frac{- 9}{3}$

Étape 3.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.6.3.1

Divisez $- 9$ par $3$ .

$y = \frac{\ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K)}{3} - 3$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + K)}{3} - 3$