Calcul infinitésimal Exemples

$y (x^{4} - y^{2}) d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Étape 1

Écrivez le problème comme une expression mathématique.

$y (x^{4} - y^{2}) d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = y (x^{4} - y^{2})$ .

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Étape 2.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (x^{4} - y^{2})]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = y$ et $g (y) = x^{4} - y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [x^{4} - y^{2}] + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x^{4}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [x^{4}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]) + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.3.2

Comme $x^{4}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x^{4}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (0 + \frac{d}{d y} [- y^{2}]) + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [- y^{2}] + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y^{2}$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- (2 y)) + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.3.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- 2 y) + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.4

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 (y^{1} y) + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.5

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 (y^{1} y^{1}) + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y^{1 + 1} + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y^{2} + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y^{2} + (x^{4} - y^{2}) \cdot 1$

Étape 2.9

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.9.1

Multipliez $x^{4} - y^{2}$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y^{2} + x^{4} - y^{2}$

Étape 2.9.2

Soustrayez $y^{2}$ de $- 2 y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{4} - 3 y^{2}$

Étape 3

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = x (x^{4} + y^{2})$ .

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Étape 3.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (x^{4} + y^{2})]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x^{4} + y^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}] + (x^{4} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} + y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]) + (x^{4} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [y^{2}]) + (x^{4} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3.3

Comme $y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (4 x^{3} + 0) + (x^{4} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3.4

Additionnez $4 x^{3}$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (4 x^{3}) + (x^{4} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 (x^{1} x^{3}) + (x^{4} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{1 + 3} + (x^{4} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.6

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{4} + (x^{4} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{4} + (x^{4} + y^{2}) \cdot 1$

Étape 3.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.8.1

Multipliez $x^{4} + y^{2}$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{4} + x^{4} + y^{2}$

Étape 3.8.2

Additionnez $4 x^{4}$ et $x^{4}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 x^{4} + y^{2}$

Étape 4

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $x^{4} - 3 y^{2}$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $5 x^{4} + y^{2}$ .

$x^{4} - 3 y^{2} = 5 x^{4} + y^{2}$

Étape 4.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$x^{4} - 3 y^{2} = 5 x^{4} + y^{2}$ n’est pas une identité.

Étape 5

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Étape 5.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $x^{4} - 3 y^{2}$ .

$\frac{x^{4} - 3 y^{2} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Étape 5.2

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $5 x^{4} + y^{2}$ .

$\frac{x^{4} - 3 y^{2} - (5 x^{4} + y^{2})}{N}$

Étape 5.3

Remplacez $N$ par $x (x^{4} + y^{2})$ .

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Étape 5.3.1

Remplacez $N$ par $x (x^{4} + y^{2})$ .

$\frac{x^{4} - 3 y^{2} - (5 x^{4} + y^{2})}{x (x^{4} + y^{2})}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.2.1

Laissez $u = y^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $y^{2}$ par $u$ .

$\frac{- 4 x^{4} - 4 u}{x (x^{4} + y^{2})}$

Étape 5.3.2.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x^{4} - 4 u$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x^{4}$ .

$\frac{4 (- x^{4}) - 4 u}{x (x^{4} + y^{2})}$

Étape 5.3.2.2.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 u$ .

$\frac{4 (- x^{4}) + 4 (- u)}{x (x^{4} + y^{2})}$

Étape 5.3.2.2.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (- x^{4}) + 4 (- u)$ .

$\frac{4 (- x^{4} - u)}{x (x^{4} + y^{2})}$

Étape 5.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y^{2}$ .

$\frac{4 (- x^{4} - y^{2})}{x (x^{4} + y^{2})}$

Étape 5.3.3

Annulez le facteur commun à $- x^{4} - y^{2}$ et $x^{4} + y^{2}$ .

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Étape 5.3.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{4}$ .

$\frac{4 (- (x^{4}) - y^{2})}{x (x^{4} + y^{2})}$

Étape 5.3.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- y^{2}$ .

$\frac{4 (- (x^{4}) - (y^{2}))}{x (x^{4} + y^{2})}$

Étape 5.3.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{4}) - (y^{2})$ .

$\frac{4 (- (x^{4} + y^{2}))}{x (x^{4} + y^{2})}$

Étape 5.3.3.4

Réécrivez $- (x^{4} + y^{2})$ comme $- 1 (x^{4} + y^{2})$ .

$\frac{4 (- 1 (x^{4} + y^{2}))}{x (x^{4} + y^{2})}$

Étape 5.3.3.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (- 1 (x^{4} + y^{2}))}{x (x^{4} + y^{2})}$

Étape 5.3.3.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 \cdot (- 1)}{x}$

Étape 5.3.4

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{- 4}{x}$

Étape 5.3.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4}{x}$

Étape 5.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{4}{x} d x}$

Étape 6

Évaluez l’intégrale $e^{\int - \frac{4}{x} d x}$ .

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Étape 6.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{4}{x} d x}$

Étape 6.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- (4 \int \frac{1}{x} d x)}$

Étape 6.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 6.4

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 (\ln (| x |) + C)}$

Étape 6.5

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- 4 \ln (| x |)} + C$

Étape 6.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.6.1

Simplifiez $- 4 \ln (| x |)$ en déplaçant $- 4$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 4})} + C$

Étape 6.6.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 4} + C$

Étape 6.6.3

Retirez la valeur absolue dans ${| x |}^{- 4}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$μ (x, y) = x^{- 4} + C$

Étape 6.6.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{4}} + C$

Étape 7

Multipliez les deux côtés de $y (x^{4} - y^{2}) d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$ par le facteur d’intégration $\frac{1}{x^{4}}$ .

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Étape 7.1

Multipliez $y (x^{4} - y^{2})$ par $\frac{1}{x^{4}}$ .

$y (x^{4} - y^{2}) \frac{1}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Étape 7.2

Appliquez la propriété distributive.

$(y x^{4} + y (- y^{2})) \frac{1}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Étape 7.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(y x^{4} - y \cdot y^{2}) \frac{1}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Étape 7.4

Multipliez $y$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.4.1

Déplacez $y^{2}$ .

$(y x^{4} - (y^{2} y)) \frac{1}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Étape 7.4.2

Multipliez $y^{2}$ par $y$ .

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Étape 7.4.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$(y x^{4} - (y^{2} y^{1})) \frac{1}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Étape 7.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(y x^{4} - y^{2 + 1}) \frac{1}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Étape 7.4.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$(y x^{4} - y^{3}) \frac{1}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Étape 7.5

Multipliez $y x^{4} - y^{3}$ par $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{y x^{4} - y^{3}}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Étape 7.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.6.1

Factorisez $y$ à partir de $y x^{4} - y^{3}$ .

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Étape 7.6.1.1

Factorisez $y$ à partir de $y x^{4}$ .

$\frac{y (x^{4}) - y^{3}}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Étape 7.6.1.2

Factorisez $y$ à partir de $- y^{3}$ .

$\frac{y (x^{4}) + y (- y^{2})}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Étape 7.6.1.3

Factorisez $y$ à partir de $y (x^{4}) + y (- y^{2})$ .

$\frac{y (x^{4} - y^{2})}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Étape 7.6.2

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{y ({(x^{2})}^{2} - y^{2})}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Étape 7.6.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x^{2}$ et $b = y$ .

$\frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Étape 7.7

Multipliez $x (x^{4} + y^{2})$ par $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

Étape 7.8

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 7.8.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) \frac{1}{x \cdot x^{3}} d y = 0$

Étape 7.8.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) \frac{1}{x \cdot x^{3}} d y = 0$

Étape 7.8.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}} d x + (x^{4} + y^{2}) \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

Étape 7.9

Multipliez $x^{4} + y^{2}$ par $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}} d x + \frac{x^{4} + y^{2}}{x^{3}} d y = 0$

Étape 8

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x^{4} + y^{2}}{x^{3}} d y$

Étape 9

Intégrez $N (x, y) = \frac{x^{4} + y^{2}}{x^{3}}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 9.1

Comme $\frac{1}{x^{3}}$ est constant par rapport à $y$ , placez $\frac{1}{x^{3}}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} \int x^{4} + y^{2} d y$

Étape 9.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (\int x^{4} d y + \int y^{2} d y)$

Étape 9.3

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + C + \int y^{2} d y)$

Étape 9.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + C + \frac{1}{3} y^{3} + C)$

Étape 9.5

Associez $\frac{1}{3}$ et $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + C + \frac{y^{3}}{3} + C)$

Étape 9.6

Simplifiez

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{1}{3} y^{3}) + C$

Étape 10

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{1}{3} y^{3}) + g (x)$

Étape 11

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Étape 12

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 12.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{1}{3} y^{3}) + g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Étape 12.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{1}{3} y^{3}) + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{1}{3} y^{3})] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{1}{3} y^{3})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Étape 12.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{1}{3} y^{3})]$ .

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Étape 12.3.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $y^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Étape 12.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \frac{1}{x^{3}}$ et $g (x) = x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}$ .

$\frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}] + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Étape 12.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4} y] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{3}]$ .

$\frac{1}{x^{3}} (\frac{d}{d x} [x^{4} y] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{3}]) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Étape 12.3.4

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x^{4} y$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{x^{3}} (y \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{3}]) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Étape 12.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{1}{x^{3}} (y (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{3}]) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Étape 12.3.6

Comme $\frac{y^{3}}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{y^{3}}{3}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{x^{3}} (y (4 x^{3}) + 0) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Étape 12.3.7

Réécrivez $\frac{1}{x^{3}}$ comme ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{x^{3}} (y (4 x^{3}) + 0) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Étape 12.3.8

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{3}$ .

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Étape 12.3.8.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{3}$ .

$\frac{1}{x^{3}} (y (4 x^{3}) + 0) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Étape 12.3.8.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{1}{x^{3}} (y (4 x^{3}) + 0) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Étape 12.3.8.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3}$ .

$\frac{1}{x^{3}} (y (4 x^{3}) + 0) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Étape 12.3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{x^{3}} (y (4 x^{3}) + 0) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Étape 12.3.10

Déplacez $4$ à gauche de $y$ .

$\frac{1}{x^{3}} (4 \cdot y x^{3} + 0) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Étape 12.3.11

Additionnez $4 y x^{3}$ et $0$ .

$\frac{1}{x^{3}} (4 y x^{3}) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Étape 12.3.12

Associez $4$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{4}{x^{3}} (y x^{3}) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Étape 12.3.13

Associez $y$ et $\frac{4}{x^{3}}$ .

$\frac{y \cdot 4}{x^{3}} x^{3} + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Étape 12.3.14

Associez $\frac{y \cdot 4}{x^{3}}$ et $x^{3}$ .

$\frac{y \cdot 4 x^{3}}{x^{3}} + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Étape 12.3.15

Déplacez $4$ à gauche de $y$ .

$\frac{4 \cdot y x^{3}}{x^{3}} + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Étape 12.3.16

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

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Étape 12.3.16.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 y x^{3}}{x^{3}} + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Étape 12.3.16.2

Divisez $4 y$ par $1$ .

$4 y + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Étape 12.3.17

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Étape 12.3.17.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 y + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Étape 12.3.17.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$4 y + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Étape 12.3.18

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$4 y + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Étape 12.3.19

Multipliez $x^{- 6}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.3.19.1

Déplacez $x^{2}$ .

$4 y + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Étape 12.3.19.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 y + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Étape 12.3.19.3

Soustrayez $6$ de $2$ .

$4 y + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Étape 12.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$4 y + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- 3 x^{- 4}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Étape 12.5

Simplifiez

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Étape 12.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 y + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Étape 12.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 y + x^{4} y (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Étape 12.5.3

Associez des termes.

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Étape 12.5.3.1

Associez $- 3$ et $\frac{1}{x^{4}}$ .

$4 y + x^{4} y \frac{- 3}{x^{4}} + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Étape 12.5.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 y + x^{4} y (- \frac{3}{x^{4}}) + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Étape 12.5.3.3

Associez $x^{4}$ et $\frac{3}{x^{4}}$ .

$4 y + y (- \frac{x^{4} \cdot 3}{x^{4}}) + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Étape 12.5.3.4

Associez $y$ et $\frac{x^{4} \cdot 3}{x^{4}}$ .

$4 y - \frac{y (x^{4} \cdot 3)}{x^{4}} + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Étape 12.5.3.5

Déplacez $3$ à gauche de $x^{4}$ .

$4 y - \frac{y (3 \cdot x^{4})}{x^{4}} + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Étape 12.5.3.6

Déplacez $3$ à gauche de $y$ .

$4 y - \frac{3 \cdot y x^{4}}{x^{4}} + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Étape 12.5.3.7

Annulez le facteur commun de $x^{4}$ .

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Étape 12.5.3.7.1

Annulez le facteur commun.

$4 y - \frac{3 y x^{4}}{x^{4}} + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Étape 12.5.3.7.2

Divisez $3 y$ par $1$ .

$4 y - (3 y) + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Étape 12.5.3.8

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$4 y - 3 y + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Étape 12.5.3.9

Associez $- 3$ et $\frac{1}{x^{4}}$ .

$4 y - 3 y + \frac{y^{3}}{3} \cdot \frac{- 3}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Étape 12.5.3.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 y - 3 y + \frac{y^{3}}{3} (- \frac{3}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Étape 12.5.3.11

Multipliez $\frac{y^{3}}{3}$ par $\frac{3}{x^{4}}$ .

$4 y - 3 y - \frac{y^{3} \cdot 3}{3 x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Étape 12.5.3.12

Déplacez $3$ à gauche de $y^{3}$ .

$4 y - 3 y - \frac{3 \cdot y^{3}}{3 x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Étape 12.5.3.13

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 12.5.3.13.1

Annulez le facteur commun.

$4 y - 3 y - \frac{3 y^{3}}{3 x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Étape 12.5.3.13.2

Réécrivez l’expression.

$4 y - 3 y - \frac{y^{3}}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Étape 12.5.3.14

Soustrayez $3 y$ de $4 y$ .

$y - \frac{y^{3}}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Étape 12.5.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + y - \frac{y^{3}}{x^{4}} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Étape 13

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 13.1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 13.1.1

Soustrayez $\frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} + y - \frac{y^{3}}{x^{4}} - \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}} = 0$

Étape 13.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}} = 0$

Étape 13.1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} + (- y x^{2} - y \cdot y) (x^{2} - y)}{x^{4}} = 0$

Étape 13.1.3.2

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 13.1.3.2.1

Déplacez $y$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} + (- y x^{2} - (y \cdot y)) (x^{2} - y)}{x^{4}} = 0$

Étape 13.1.3.2.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} + (- y x^{2} - y^{2}) (x^{2} - y)}{x^{4}} = 0$

Étape 13.1.3.3

Développez $(- y x^{2} - y^{2}) (x^{2} - y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 13.1.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{2} (x^{2} - y) - y^{2} (x^{2} - y)}{x^{4}} = 0$

Étape 13.1.3.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{2} x^{2} - y x^{2} (- y) - y^{2} (x^{2} - y)}{x^{4}} = 0$

Étape 13.1.3.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{2} x^{2} - y x^{2} (- y) - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y)}{x^{4}} = 0$

Étape 13.1.3.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 13.1.3.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.3.4.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 13.1.3.4.1.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y (x^{2} x^{2}) - y x^{2} (- y) - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y)}{x^{4}} = 0$

Étape 13.1.3.4.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{2 + 2} - y x^{2} (- y) - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y)}{x^{4}} = 0$

Étape 13.1.3.4.1.1.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} - y x^{2} (- y) - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y)}{x^{4}} = 0$

Étape 13.1.3.4.1.2

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 13.1.3.4.1.2.1

Déplacez $y$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} - (y \cdot y) x^{2} \cdot - 1 - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y)}{x^{4}} = 0$

Étape 13.1.3.4.1.2.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} - y^{2} x^{2} \cdot - 1 - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y)}{x^{4}} = 0$

Étape 13.1.3.4.1.3

Multipliez $- y^{2} x^{2} \cdot - 1$ .

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Étape 13.1.3.4.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + 1 y^{2} x^{2} - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y)}{x^{4}} = 0$

Étape 13.1.3.4.1.3.2

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + y^{2} x^{2} - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y)}{x^{4}} = 0$

Étape 13.1.3.4.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + y^{2} x^{2} - y^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 y^{2} y}{x^{4}} = 0$

Étape 13.1.3.4.1.5

Multipliez $y^{2}$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 13.1.3.4.1.5.1

Déplacez $y$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + y^{2} x^{2} - y^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 (y \cdot y^{2})}{x^{4}} = 0$

Étape 13.1.3.4.1.5.2

Multipliez $y$ par $y^{2}$ .

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Étape 13.1.3.4.1.5.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + y^{2} x^{2} - y^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 (y^{1} y^{2})}{x^{4}} = 0$

Étape 13.1.3.4.1.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + y^{2} x^{2} - y^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 y^{1 + 2}}{x^{4}} = 0$

Étape 13.1.3.4.1.5.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + y^{2} x^{2} - y^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 y^{3}}{x^{4}} = 0$

Étape 13.1.3.4.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + y^{2} x^{2} - y^{2} x^{2} + 1 y^{3}}{x^{4}} = 0$

Étape 13.1.3.4.1.7

Multipliez $y^{3}$ par $1$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + y^{2} x^{2} - y^{2} x^{2} + y^{3}}{x^{4}} = 0$

Étape 13.1.3.4.2

Soustrayez $y^{2} x^{2}$ de $y^{2} x^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + 0 + y^{3}}{x^{4}} = 0$

Étape 13.1.3.4.3

Additionnez $- y x^{4}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + y^{3}}{x^{4}} = 0$

Étape 13.1.4

Associez les termes opposés dans $- y^{3} - y x^{4} + y^{3}$ .

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Étape 13.1.4.1

Additionnez $- y^{3}$ et $y^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y x^{4} + 0}{x^{4}} = 0$

Étape 13.1.4.2

Additionnez $- y x^{4}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y x^{4}}{x^{4}} = 0$

Étape 13.1.5

Annulez le facteur commun de $x^{4}$ .

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Étape 13.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y x^{4}}{x^{4}} = 0$

Étape 13.1.5.2

Divisez $- y$ par $1$ .

$\frac{d g}{d x} + y - y = 0$

Étape 13.1.6

Associez les termes opposés dans $\frac{d g}{d x} + y - y$ .

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Étape 13.1.6.1

Soustrayez $y$ de $y$ .

$\frac{d g}{d x} + 0 = 0$

Étape 13.1.6.2

Additionnez $\frac{d g}{d x}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Étape 14

Déterminez la primitive de $0$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 14.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Étape 14.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Étape 14.3

L’intégrale de $0$ par rapport à $x$ est $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Étape 14.4

Additionnez $0$ et $C$ .

$g (x) = C$

Étape 15

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{1}{3} y^{3}) + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{1}{3} y^{3}) + C$

Étape 16

Simplifiez chaque terme.

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Étape 16.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) + C$

Étape 16.2

Multipliez $\frac{1}{x^{3}}$ par $x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}}{x^{3}} + C$

Étape 16.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 16.3.1

Factorisez $y$ à partir de $x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}$ .

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Étape 16.3.1.1

Factorisez $y$ à partir de $x^{4} y$ .

$f (x, y) = \frac{y x^{4} + \frac{y^{3}}{3}}{x^{3}} + C$

Étape 16.3.1.2

Factorisez $y$ à partir de $\frac{y^{3}}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{y x^{4} + y \frac{y^{2}}{3}}{x^{3}} + C$

Étape 16.3.1.3

Factorisez $y$ à partir de $y x^{4} + y \frac{y^{2}}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{y (x^{4} + \frac{y^{2}}{3})}{x^{3}} + C$

Étape 16.3.2

Pour écrire $x^{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{y (x^{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{y^{2}}{3})}{x^{3}} + C$

Étape 16.3.3

Associez $x^{4}$ et $\frac{3}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{y (\frac{x^{4} \cdot 3}{3} + \frac{y^{2}}{3})}{x^{3}} + C$

Étape 16.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (x, y) = \frac{y \frac{x^{4} \cdot 3 + y^{2}}{3}}{x^{3}} + C$

Étape 16.3.5

Déplacez $3$ à gauche de $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{y \frac{3 x^{4} + y^{2}}{3}}{x^{3}} + C$

Étape 16.4

Associez $y$ et $\frac{3 x^{4} + y^{2}}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{\frac{y (3 x^{4} + y^{2})}{3}}{x^{3}} + C$

Étape 16.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (x, y) = \frac{y (3 x^{4} + y^{2})}{3} \cdot \frac{1}{x^{3}} + C$

Étape 16.6

Associez.

$f (x, y) = \frac{y (3 x^{4} + y^{2}) \cdot 1}{3 x^{3}} + C$

Étape 16.7

Multipliez $y$ par $1$ .

$f (x, y) = \frac{y (3 x^{4} + y^{2})}{3 x^{3}} + C$