Calcul infinitésimal Exemples

$x \frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{\sin (x)}{x}$ , $y (2) = 1$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{\sin (x)}{x}$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Étape 1.2.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Étape 1.3

Factorisez $y$ à partir de $\frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{x} = \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Étape 1.4

Remettez dans l’ordre $y$ et $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = \frac{2}{x}$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Étape 2.2

Intégrez $\frac{2}{x}$ .

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Étape 2.2.3

Simplifiez

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{2 \ln (x)}$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance logarithmique.

$e^{\ln (x^{2})}$

Étape 2.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$x^{2}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $x^{2}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Associez $\frac{2}{x}$ et $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Étape 3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Étape 3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Étape 3.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x \cdot x \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x \cdot x \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Étape 3.3.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x \frac{\sin (x)}{x}$

Étape 3.4

Associez $x$ et $\frac{\sin (x)}{x}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \frac{x \sin (x)}{x}$

Étape 3.5

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.5.1

Annulez le facteur commun.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \frac{x \sin (x)}{x}$

Étape 3.5.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \sin (x)$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = \sin (x)$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int \sin (x) d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$x^{2} y = \int \sin (x) d x$

Étape 7

L’intégrale de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \cos (x)$ .

$x^{2} y = - \cos (x) + C$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $x^{2} y = - \cos (x) + C$ par $x^{2}$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $x^{2} y = - \cos (x) + C$ par $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- \cos (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- \cos (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- \cos (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{\cos (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 9

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $C$ en remplaçant $x$ par $2$ et $y$ par $1$ dans $y = - \frac{\cos (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$ .

$1 = - \frac{\cos (2)}{2^{2}} + \frac{C}{2^{2}}$

Étape 10

Résolvez $C$ .

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Étape 10.1

Réécrivez l’équation comme $- \frac{\cos (2)}{2^{2}} + \frac{C}{2^{2}} = 1$ .

$- \frac{\cos (2)}{2^{2}} + \frac{C}{2^{2}} = 1$

Étape 10.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.1.1

Évaluez $\cos (2)$ .

$- \frac{0.99939082}{2^{2}} + \frac{C}{2^{2}} = 1$

Étape 10.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- \frac{0.99939082}{4} + \frac{C}{2^{2}} = 1$

Étape 10.2.1.3

Divisez $0.99939082$ par $4$ .

$- 1 \cdot 0.2498477 + \frac{C}{2^{2}} = 1$

Étape 10.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $0.2498477$ .

$- 0.2498477 + \frac{C}{2^{2}} = 1$

Étape 10.2.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- 0.2498477 + \frac{C}{4} = 1$

Étape 10.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $C$ du côté droit de l’équation.

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Étape 10.3.1

Ajoutez $0.2498477$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{C}{4} = 1 + 0.2498477$

Étape 10.3.2

Additionnez $1$ et $0.2498477$ .

$\frac{C}{4} = 1.2498477$

Étape 10.4

Multipliez les deux côtés de l’équation par $4$ .

$4 \frac{C}{4} = 4 \cdot 1.2498477$

Étape 10.5

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 10.5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.5.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 10.5.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$4 \frac{C}{4} = 4 \cdot 1.2498477$

Étape 10.5.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$C = 4 \cdot 1.2498477$

Étape 10.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.5.2.1

Multipliez $4$ par $1.2498477$ .

$C = 4.99939082$

Étape 11

Remplacez $C$ par $4.99939082$ dans $y = - \frac{\cos (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$ et simplifiez.

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Étape 11.1

Remplacez $C$ par $4.99939082$ .

$y = - \frac{\cos (x)}{x^{2}} + \frac{4.99939082}{x^{2}}$