Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{1}{x}$

Étape 1

intégrez les deux côtés par rapport à $x$ .

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Étape 1.1

La dérivée première est égale à l’intégrale de la dérivée seconde par rapport à $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 1.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\frac{d y}{d x} = \ln (| x |) + C_{1}$

Étape 2

Réécrivez l’équation.

$d y = (\ln (| x |) + C_{1}) d x$

Étape 3

Intégrez les deux côtés.

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Étape 3.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int \ln (| x |) + C_{1} d x$

Étape 3.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{2} = \int \ln (| x |) + C_{1} d x$

Étape 3.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{2} = \int \ln (| x |) d x + \int C_{1} d x$

Étape 3.3.2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln (| x |)$ et $d v = 1$ .

$y + C_{2} = \ln (| x |) x - \int x \frac{1}{x} d x + \int C_{1} d x$

Étape 3.3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.3.1

Associez $x$ et $\frac{1}{x}$ .

$y + C_{2} = \ln (| x |) x - \int \frac{x}{x} d x + \int C_{1} d x$

Étape 3.3.3.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.3.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$y + C_{2} = \ln (| x |) x - \int \frac{x}{x} d x + \int C_{1} d x$

Étape 3.3.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$y + C_{2} = \ln (| x |) x - \int d x + \int C_{1} d x$

Étape 3.3.4

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{2} = \ln (| x |) x - (x + C_{3}) + \int C_{1} d x$

Étape 3.3.5

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{2} = \ln (| x |) x - (x + C_{3}) + C_{1} x + C_{4}$

Étape 3.3.6

Simplifiez

$y + C_{2} = \ln (| x |) x - x + C_{1} x + C_{5}$

Étape 3.3.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{2} = x \ln (| x |) + C_{1} x - x + C_{5}$

Étape 3.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $D$ .

$y = x \ln (| x |) + C x - x + D$