Calcul infinitésimal Exemples

$(x + 1) \frac{d y}{d x} = x$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $(x + 1) \frac{d y}{d x} = x$ par $x + 1$ et simplifiez.

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Étape 1.1.1

Divisez chaque terme dans $(x + 1) \frac{d y}{d x} = x$ par $x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} = \frac{x}{x + 1}$

Étape 1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.1

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} = \frac{x}{x + 1}$

Étape 1.1.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x + 1}$

Étape 1.2

Réécrivez l’équation.

$d y = \frac{x}{x + 1} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Divisez $x$ par $x + 1$ .

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Étape 2.3.1.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Étape 2.3.1.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Étape 2.3.1.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

Étape 2.3.1.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x + 1$

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

Étape 2.3.1.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

Étape 2.3.1.6

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$y + C_{1} = \int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

Étape 2.3.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Étape 2.3.3

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = x + C_{2} + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Étape 2.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{x + 1} d x$

Étape 2.3.5

Laissez $u = x + 1$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.5.1

Laissez $u = x + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.5.1.1

Différenciez $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 2.3.5.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.5.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.3.5.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.3.5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$y + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{u} d u$

Étape 2.3.6

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = x + C_{2} - (\ln (| u |) + C_{3})$

Étape 2.3.7

Simplifiez

$y + C_{1} = x - \ln (| u |) + C_{4}$

Étape 2.3.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

$y + C_{1} = x - \ln (| x + 1 |) + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$y = x - \ln (| x + 1 |) + C$