Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 24}{{(2 x + 1)}^{3}}$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = \frac{- 24}{{(2 x + 1)}^{3}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int \frac{- 24}{{(2 x + 1)}^{3}} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{- 24}{{(2 x + 1)}^{3}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y + C_{1} = \int - \frac{24}{{(2 x + 1)}^{3}} d x$

Étape 2.3.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = - \int \frac{24}{{(2 x + 1)}^{3}} d x$

Étape 2.3.3

Comme $24$ est constant par rapport à $x$ , placez $24$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = - (24 \int \frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}} d x)$

Étape 2.3.4

Multipliez $24$ par $- 1$ .

$y + C_{1} = - 24 \int \frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}} d x$

Étape 2.3.5

Laissez $u = 2 x + 1$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.5.1

Laissez $u = 2 x + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.5.1.1

Différenciez $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Étape 2.3.5.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 2.3.5.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.5.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.5.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.5.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 2.3.5.1.4.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 2.3.5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$y + C_{1} = - 24 \int \frac{1}{u^{3}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 2.3.6

Simplifiez

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Étape 2.3.6.1

Multipliez $\frac{1}{u^{3}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = - 24 \int \frac{1}{u^{3} \cdot 2} d u$

Étape 2.3.6.2

Déplacez $2$ à gauche de $u^{3}$ .

$y + C_{1} = - 24 \int \frac{1}{2 u^{3}} d u$

Étape 2.3.7

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = - 24 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{3}} d u)$

Étape 2.3.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.8.1

Simplifiez

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Étape 2.3.8.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 24$ .

$y + C_{1} = \frac{- 24}{2} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Étape 2.3.8.1.2

Annulez le facteur commun à $- 24$ et $2$ .

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Étape 2.3.8.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 24$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 12}{2} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Étape 2.3.8.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.8.1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 12}{2 (1)} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Étape 2.3.8.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Étape 2.3.8.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y + C_{1} = \frac{- 12}{1} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Étape 2.3.8.1.2.2.4

Divisez $- 12$ par $1$ .

$y + C_{1} = - 12 \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Étape 2.3.8.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.3.8.2.1

Retirez $u^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$y + C_{1} = - 12 \int {(u^{3})}^{- 1} d u$

Étape 2.3.8.2.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.8.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - 12 \int u^{3 \cdot - 1} d u$

Étape 2.3.8.2.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$y + C_{1} = - 12 \int u^{- 3} d u$

Étape 2.3.9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 3}$ par rapport à $u$ est $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$y + C_{1} = - 12 (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C_{2})$

Étape 2.3.10

Simplifiez

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Étape 2.3.10.1

Simplifiez

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Étape 2.3.10.1.1

Associez $u^{- 2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = - 12 (- \frac{u^{- 2}}{2} + C_{2})$

Étape 2.3.10.1.2

Placez $u^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y + C_{1} = - 12 (- \frac{1}{2 u^{2}} + C_{2})$

Étape 2.3.10.2

Simplifiez

$y + C_{1} = - 12 (- \frac{1}{2 u^{2}}) + C_{2}$

Étape 2.3.10.3

Simplifiez

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Étape 2.3.10.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 12$ .

$y + C_{1} = 12 \frac{1}{2 u^{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.10.3.2

Associez $12$ et $\frac{1}{2 u^{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{12}{2 u^{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.10.3.3

Annulez le facteur commun à $12$ et $2$ .

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Étape 2.3.10.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 6}{2 u^{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.10.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.10.3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 u^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 6}{2 (u^{2})} + C_{2}$

Étape 2.3.10.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 6}{2 u^{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.10.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$y + C_{1} = \frac{6}{u^{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x + 1$ .

$y + C_{1} = \frac{6}{{(2 x + 1)}^{2}} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = \frac{6}{{(2 x + 1)}^{2}} + K$