Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + x e^{x}}{y + y e^{y^{2}}}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $y + y e^{y^{2}}$ .

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = (y + y e^{y^{2}}) \frac{1 + x e^{x}}{y + y e^{y^{2}}}$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Factorisez $y$ à partir de $y + y e^{y^{2}}$ .

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Étape 1.2.1.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = (y + y e^{y^{2}}) \frac{1 + x e^{x}}{y^{1} + y e^{y^{2}}}$

Étape 1.2.1.2

Factorisez $y$ à partir de $y^{1}$ .

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = (y + y e^{y^{2}}) \frac{1 + x e^{x}}{y \cdot 1 + y e^{y^{2}}}$

Étape 1.2.1.3

Factorisez $y$ à partir de $y e^{y^{2}}$ .

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = (y + y e^{y^{2}}) \frac{1 + x e^{x}}{y \cdot 1 + y (e^{y^{2}})}$

Étape 1.2.1.4

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot 1 + y (e^{y^{2}})$ .

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = (y + y e^{y^{2}}) \frac{1 + x e^{x}}{y (1 + e^{y^{2}})}$

Étape 1.2.2

Multipliez $y + y e^{y^{2}}$ par $\frac{1 + x e^{x}}{y (1 + e^{y^{2}})}$ .

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = \frac{(y + y e^{y^{2}}) (1 + x e^{x})}{y (1 + e^{y^{2}})}$

Étape 1.2.3

Factorisez $y$ à partir de $y + y e^{y^{2}}$ .

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Étape 1.2.3.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = \frac{(y^{1} + y e^{y^{2}}) (1 + x e^{x})}{y (1 + e^{y^{2}})}$

Étape 1.2.3.2

Factorisez $y$ à partir de $y^{1}$ .

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = \frac{(y \cdot 1 + y e^{y^{2}}) (1 + x e^{x})}{y (1 + e^{y^{2}})}$

Étape 1.2.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y e^{y^{2}}$ .

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = \frac{(y \cdot 1 + y (e^{y^{2}})) (1 + x e^{x})}{y (1 + e^{y^{2}})}$

Étape 1.2.3.4

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot 1 + y (e^{y^{2}})$ .

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = \frac{y (1 + e^{y^{2}}) (1 + x e^{x})}{y (1 + e^{y^{2}})}$

Étape 1.2.4

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = \frac{y (1 + e^{y^{2}}) (1 + x e^{x})}{y (1 + e^{y^{2}})}$

Étape 1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + e^{y^{2}}) (1 + x e^{x})}{1 + e^{y^{2}}}$

Étape 1.2.5

Annulez le facteur commun de $1 + e^{y^{2}}$ .

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Étape 1.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + e^{y^{2}}) (1 + x e^{x})}{1 + e^{y^{2}}}$

Étape 1.2.5.2

Divisez $1 + x e^{x}$ par $1$ .

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = 1 + x e^{x}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$(y + y e^{y^{2}}) d y = (1 + x e^{x}) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y + y e^{y^{2}} d y = \int 1 + x e^{x} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int y d y + \int y e^{y^{2}} d y = \int 1 + x e^{x} d x$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int y e^{y^{2}} d y = \int 1 + x e^{x} d x$

Étape 2.2.3

Laissez $u = y^{2}$ . Alors $d u = 2 y d y$ , donc $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.3.1

Laissez $u = y^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.2.3.1.1

Différenciez $y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 2.2.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 y$

Étape 2.2.3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int e^{u} \frac{1}{2} d u = \int 1 + x e^{x} d x$

Étape 2.2.4

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int \frac{e^{u}}{2} d u = \int 1 + x e^{x} d x$

Étape 2.2.5

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \frac{1}{2} \int e^{u} d u = \int 1 + x e^{x} d x$

Étape 2.2.6

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) = \int 1 + x e^{x} d x$

Étape 2.2.7

Simplifiez

$\frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} e^{u} + C_{3} = \int 1 + x e^{x} d x$

Étape 2.2.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{3} = \int 1 + x e^{x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{3} = \int d x + \int x e^{x} d x$

Étape 2.3.2

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{3} = x + C_{4} + \int x e^{x} d x$

Étape 2.3.3

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{x}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{3} = x + C_{4} + x e^{x} - \int e^{x} d x$

Étape 2.3.4

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{3} = x + C_{4} + x e^{x} - (e^{x} + C_{5})$

Étape 2.3.5

Simplifiez

$\frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{3} = x + x e^{x} - e^{x} + C_{6}$

Étape 2.3.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{3} = e^{x} x + x - e^{x} + C_{6}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} e^{y^{2}} = e^{x} x + x - e^{x} + K$