Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \sin (x) \cos^{2} (x)$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = \sin (x) \cos^{2} (x) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int \sin (x) \cos^{2} (x) d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int \sin (x) \cos^{2} (x) d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Laissez $u = \cos (x)$ . Alors $d u = - \sin (x) d x$ , donc $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.1.1

Laissez $u = \cos (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Différenciez $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 2.3.1.1.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$y + C_{1} = \int - 1 u^{2} d u$

Étape 2.3.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = - \int u^{2} d u$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$y + C_{1} = - (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$

Étape 2.3.4

Réécrivez $- (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$ comme $- \frac{1}{3} u^{3} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} u^{3} + C_{2}$

Étape 2.3.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (x)$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \cos^{3} (x) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = - \frac{1}{3} \cos^{3} (x) + K$