Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} - y = x e^{x}$

Étape 1

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = - 1$ .

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Étape 1.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int - 1 d x}$

Étape 1.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{- x + C}$

Étape 1.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- x}$

Étape 2

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{- x}$ .

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme par $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} (x e^{x})$

Étape 2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} (x e^{x})$

Étape 2.3

Multipliez $e^{- x}$ par $e^{x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.1

Déplacez $e^{x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{x} e^{- x} x$

Étape 2.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{x - x} x$

Étape 2.3.3

Soustrayez $x$ de $x$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{0} x$

Étape 2.4

Simplifiez $e^{0} x$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = x$

Étape 2.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = x$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = x$

Étape 3

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = x$

Étape 4

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int x d x$

Étape 5

Intégrez le côté gauche.

$e^{- x} y = \int x d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{- x} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $e^{- x} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ par $e^{- x}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $e^{- x} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ par $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{- x}$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.3.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Étape 7.3.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Étape 7.3.1.3

Associez.

$y = \frac{x^{2} \cdot 1}{2 e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Étape 7.3.1.4

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{2 e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$