Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + y = x$ , $y (0) = 3$

Étape 1

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = 1$ .

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Étape 1.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int d x}$

Étape 1.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{x + C}$

Étape 1.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{x}$

Étape 2

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{x}$ .

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme par $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x$

Étape 2.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = x e^{x}$

Étape 3

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = x e^{x}$

Étape 4

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int x e^{x} d x$

Étape 5

Intégrez le côté gauche.

$e^{x} y = \int x e^{x} d x$

Étape 6

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = x e^{x} - \int e^{x} d x$

Étape 6.2

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$e^{x} y = x e^{x} - (e^{x} + C)$

Étape 6.3

Simplifiez

$e^{x} y = x e^{x} - e^{x} + C$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $e^{x} y = x e^{x} - e^{x} + C$ par $e^{x}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $e^{x} y = x e^{x} - e^{x} + C$ par $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{x}$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.3.1.1

Annulez le facteur commun de $e^{x}$ .

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Étape 7.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 7.3.1.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$y = x + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 7.3.1.2

Annulez le facteur commun de $e^{x}$ .

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Étape 7.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y = x + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 7.3.1.2.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$y = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 8

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $C$ en remplaçant $x$ par $0$ et $y$ par $3$ dans $y = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$ .

$3 = 0 - 1 + \frac{C}{e^{0}}$

Étape 9

Résolvez $C$ .

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Étape 9.1

Réécrivez l’équation comme $0 - 1 + \frac{C}{e^{0}} = 3$ .

$0 - 1 + \frac{C}{e^{0}} = 3$

Étape 9.2

Simplifiez $0 - 1 + \frac{C}{e^{0}}$ .

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Étape 9.2.1

Soustrayez $1$ de $0$ .

$- 1 + \frac{C}{e^{0}} = 3$

Étape 9.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.2.2.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$- 1 + \frac{C}{1} = 3$

Étape 9.2.2.2

Divisez $C$ par $1$ .

$- 1 + C = 3$

Étape 9.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $C$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.3.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$C = 3 + 1$

Étape 9.3.2

Additionnez $3$ et $1$ .

$C = 4$

Étape 10

Remplacez $C$ par $4$ dans $y = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$ et simplifiez.

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Étape 10.1

Remplacez $C$ par $4$ .

$y = x - 1 + \frac{4}{e^{x}}$