Calcul infinitésimal Exemples

$(x - 6 y) d x + 5 x d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = x - 6 y$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x - 6 y]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 6 y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 6 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 6 y]$

Étape 1.2.2

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 6 y]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [- 6 y]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 6 y$ par rapport à $y$ est $- 6 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 6 \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 6 \cdot 1$

Étape 1.3.3

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 6$

Étape 1.4

Soustrayez $6$ de $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 6$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = 5 x$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 2.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 \cdot 1$

Étape 2.4

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $- 6$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $5$ .

$- 6 = 5$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$- 6 = 5$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $- 6$ .

$\frac{- 6 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $5$ .

$\frac{- 6 - 5}{N}$

Étape 4.3

Remplacez $N$ par $5 x$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $N$ par $5 x$ .

$\frac{- 6 - 5}{5 x}$

Étape 4.3.2

Soustrayez $5$ de $- 6$ .

$\frac{- 11}{5 x}$

Étape 4.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{11}{5 x}$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{11}{5 x} d x}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int - \frac{11}{5 x} d x}$ .

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Étape 5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{11}{5 x} d x}$

Étape 5.2

Comme $\frac{11}{5}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{11}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- (\frac{11}{5} \int \frac{1}{x} d x)}$

Étape 5.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- \frac{11}{5} (\ln (| x |) + C)}$

Étape 5.4

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- \frac{11}{5} \ln (| x |)} + C$

Étape 5.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.1

Multipliez $- \frac{11}{5} \ln (| x |)$ .

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Étape 5.5.1.1

Remettez dans l’ordre $\ln (| x |)$ et $\frac{11}{5}$ .

$μ (x, y) = e^{- (\frac{11}{5} \ln (| x |))} + C$

Étape 5.5.1.2

Simplifiez $\frac{11}{5} \ln (| x |)$ en déplaçant $\frac{11}{5}$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{- \ln ({| x |}^{\frac{11}{5}})} + C$

Étape 5.5.2

Simplifiez $- \ln ({| x |}^{\frac{11}{5}})$ en déplaçant $- 1$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({({| x |}^{\frac{11}{5}})}^{- 1})} + C$

Étape 5.5.3

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {({| x |}^{\frac{11}{5}})}^{- 1} + C$

Étape 5.5.4

Multipliez les exposants dans ${({| x |}^{\frac{11}{5}})}^{- 1}$ .

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Étape 5.5.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{11}{5} \cdot - 1} + C$

Étape 5.5.4.2

Multipliez $\frac{11}{5} \cdot - 1$ .

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Étape 5.5.4.2.1

Associez $\frac{11}{5}$ et $- 1$ .

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{11 \cdot - 1}{5}} + C$

Étape 5.5.4.2.2

Multipliez $11$ par $- 1$ .

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{- 11}{5}} + C$

Étape 5.5.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$μ (x, y) = {| x |}^{- \frac{11}{5}} + C$

Étape 5.5.5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{\frac{11}{5}}} + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $(x - 6 y) d x + 5 x d y = 0$ par le facteur d’intégration $\frac{1}{x^{\frac{11}{5}}}$ .

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Étape 6.1

Multipliez $x - 6 y$ par $\frac{1}{x^{\frac{11}{5}}}$ .

$(x - 6 y) \frac{1}{x^{\frac{11}{5}}} d x + 5 x d y = 0$

Étape 6.2

Multipliez $x - 6 y$ par $\frac{1}{x^{\frac{11}{5}}}$ .

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + 5 x d y = 0$

Étape 6.3

Multipliez $5 x$ par $\frac{1}{x^{\frac{11}{5}}}$ .

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + 5 x \frac{1}{x^{\frac{11}{5}}} d y = 0$

Étape 6.4

Multipliez $5 x \frac{1}{x^{\frac{11}{5}}}$ .

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Étape 6.4.1

Associez $5$ et $\frac{1}{x^{\frac{11}{5}}}$ .

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + x \frac{5}{x^{\frac{11}{5}}} d y = 0$

Étape 6.4.2

Associez $x$ et $\frac{5}{x^{\frac{11}{5}}}$ .

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + \frac{x \cdot 5}{x^{\frac{11}{5}}} d y = 0$

Étape 6.5

Placez $x^{1}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + \frac{5}{x^{\frac{11}{5}} x^{- 1}} d y = 0$

Étape 6.6

Multipliez $x^{\frac{11}{5}}$ par $x^{- 1}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.6.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + \frac{5}{x^{\frac{11}{5} - 1}} d y = 0$

Étape 6.6.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + \frac{5}{x^{\frac{11}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}} d y = 0$

Étape 6.6.3

Associez $- 1$ et $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + \frac{5}{x^{\frac{11}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}} d y = 0$

Étape 6.6.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + \frac{5}{x^{\frac{11 - 1 \cdot 5}{5}}} d y = 0$

Étape 6.6.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.6.5.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + \frac{5}{x^{\frac{11 - 5}{5}}} d y = 0$

Étape 6.6.5.2

Soustrayez $5$ de $11$ .

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + \frac{5}{x^{\frac{6}{5}}} d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{5}{x^{\frac{6}{5}}} d y$

Étape 8

Intégrez $N (x, y) = \frac{5}{x^{\frac{6}{5}}}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = \frac{5}{x^{\frac{6}{5}}} y + C$

Étape 8.2

Associez $\frac{5}{x^{\frac{6}{5}}}$ et $y$ .

$f (x, y) = \frac{5 y}{x^{\frac{6}{5}}} + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{5 y}{x^{\frac{6}{5}}} + g (x)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5 y}{x^{\frac{6}{5}}} + g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{5 y}{x^{\frac{6}{5}}} + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{5 y}{x^{\frac{6}{5}}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5 y}{x^{\frac{6}{5}}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{5 y}{x^{\frac{6}{5}}}]$ .

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Étape 11.3.1

Comme $5 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{5 y}{x^{\frac{6}{5}}}$ par rapport à $x$ est $5 y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{6}{5}}}]$ .

$5 y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{6}{5}}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Étape 11.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{6}{5}}}$ comme ${(x^{\frac{6}{5}})}^{- 1}$ .

$5 y \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{6}{5}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Étape 11.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{\frac{6}{5}}$ .

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Étape 11.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{\frac{6}{5}}$ .

$5 y (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{6}{5}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Étape 11.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$5 y (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{6}{5}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Étape 11.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{\frac{6}{5}}$ .

$5 y (- {(x^{\frac{6}{5}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{6}{5}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Étape 11.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{6}{5}$ .

$5 y (- {(x^{\frac{6}{5}})}^{- 2} (\frac{6}{5} x^{\frac{6}{5} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Étape 11.3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{6}{5}})}^{- 2}$ .

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Étape 11.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 y (- x^{\frac{6}{5} \cdot - 2} (\frac{6}{5} x^{\frac{6}{5} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Étape 11.3.5.2

Multipliez $\frac{6}{5} \cdot - 2$ .

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Étape 11.3.5.2.1

Associez $\frac{6}{5}$ et $- 2$ .

$5 y (- x^{\frac{6 \cdot - 2}{5}} (\frac{6}{5} x^{\frac{6}{5} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Étape 11.3.5.2.2

Multipliez $6$ par $- 2$ .

$5 y (- x^{\frac{- 12}{5}} (\frac{6}{5} x^{\frac{6}{5} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Étape 11.3.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$5 y (- x^{- \frac{12}{5}} (\frac{6}{5} x^{\frac{6}{5} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Étape 11.3.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$5 y (- x^{- \frac{12}{5}} (\frac{6}{5} x^{\frac{6}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Étape 11.3.7

Associez $- 1$ et $\frac{5}{5}$ .

$5 y (- x^{- \frac{12}{5}} (\frac{6}{5} x^{\frac{6}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Étape 11.3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 y (- x^{- \frac{12}{5}} (\frac{6}{5} x^{\frac{6 - 1 \cdot 5}{5}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Étape 11.3.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.3.9.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$5 y (- x^{- \frac{12}{5}} (\frac{6}{5} x^{\frac{6 - 5}{5}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Étape 11.3.9.2

Soustrayez $5$ de $6$ .

$5 y (- x^{- \frac{12}{5}} (\frac{6}{5} x^{\frac{1}{5}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Étape 11.3.10

Associez $\frac{6}{5}$ et $x^{\frac{1}{5}}$ .

$5 y (- x^{- \frac{12}{5}} \frac{6 x^{\frac{1}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Étape 11.3.11

Associez $\frac{6 x^{\frac{1}{5}}}{5}$ et $x^{- \frac{12}{5}}$ .

$5 y (- \frac{6 x^{\frac{1}{5}} x^{- \frac{12}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Étape 11.3.12

Multipliez $x^{\frac{1}{5}}$ par $x^{- \frac{12}{5}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.3.12.1

Déplacez $x^{- \frac{12}{5}}$ .

$5 y (- \frac{6 (x^{- \frac{12}{5}} x^{\frac{1}{5}})}{5}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Étape 11.3.12.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 y (- \frac{6 x^{- \frac{12}{5} + \frac{1}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Étape 11.3.12.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 y (- \frac{6 x^{\frac{- 12 + 1}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Étape 11.3.12.4

Additionnez $- 12$ et $1$ .

$5 y (- \frac{6 x^{\frac{- 11}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Étape 11.3.12.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$5 y (- \frac{6 x^{- \frac{11}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Étape 11.3.13

Placez $x^{- \frac{11}{5}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 y (- \frac{6}{5 x^{\frac{11}{5}}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Étape 11.3.14

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$- 5 y \frac{6}{5 x^{\frac{11}{5}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Étape 11.3.15

Associez $- 5$ et $\frac{6}{5 x^{\frac{11}{5}}}$ .

$y \frac{- 5 \cdot 6}{5 x^{\frac{11}{5}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Étape 11.3.16

Multipliez $- 5$ par $6$ .

$y \frac{- 30}{5 x^{\frac{11}{5}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Étape 11.3.17

Associez $y$ et $\frac{- 30}{5 x^{\frac{11}{5}}}$ .

$\frac{y \cdot - 30}{5 x^{\frac{11}{5}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Étape 11.3.18

Déplacez $- 30$ à gauche de $y$ .

$\frac{- 30 \cdot y}{5 x^{\frac{11}{5}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Étape 11.3.19

Factorisez $5$ à partir de $- 30 y$ .

$\frac{5 (- 6 y)}{5 x^{\frac{11}{5}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Étape 11.3.20

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.3.20.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x^{\frac{11}{5}}$ .

$\frac{5 (- 6 y)}{5 (x^{\frac{11}{5}})} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Étape 11.3.20.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 (- 6 y)}{5 x^{\frac{11}{5}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Étape 11.3.20.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Étape 11.3.21

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{6 y}{x^{\frac{11}{5}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Étape 11.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$- \frac{6 y}{x^{\frac{11}{5}}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Étape 11.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} - \frac{6 y}{x^{\frac{11}{5}}} = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 12.1

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 12.1.1

Simplifiez $\frac{d g}{d x} - \frac{6 y}{x^{\frac{11}{5}}} - \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$ .

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Étape 12.1.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 6 y - (x - 6 y)}{x^{\frac{11}{5}}} = 0$

Étape 12.1.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 6 y - x - (- 6 y)}{x^{\frac{11}{5}}} = 0$

Étape 12.1.1.2.2

Multipliez $- 6$ par $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 6 y - x + 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} = 0$

Étape 12.1.1.3

Associez les termes opposés dans $- 6 y - x + 6 y$ .

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Étape 12.1.1.3.1

Additionnez $- 6 y$ et $6 y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x + 0}{x^{\frac{11}{5}}} = 0$

Étape 12.1.1.3.2

Additionnez $- x$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x}{x^{\frac{11}{5}}} = 0$

Étape 12.1.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.1.4.1

Placez $x^{1}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{\frac{11}{5}} x^{- 1}} = 0$

Étape 12.1.1.4.2

Multipliez $x^{\frac{11}{5}}$ par $x^{- 1}$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.1.1.4.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{\frac{11}{5} - 1}} = 0$

Étape 12.1.1.4.2.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{\frac{11}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}} = 0$

Étape 12.1.1.4.2.3

Associez $- 1$ et $\frac{5}{5}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{\frac{11}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}} = 0$

Étape 12.1.1.4.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{\frac{11 - 1 \cdot 5}{5}}} = 0$

Étape 12.1.1.4.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.1.1.4.2.5.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{\frac{11 - 5}{5}}} = 0$

Étape 12.1.1.4.2.5.2

Soustrayez $5$ de $11$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{\frac{6}{5}}} = 0$

Étape 12.1.1.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d g}{d x} - \frac{1}{x^{\frac{6}{5}}} = 0$

Étape 12.1.2

Ajoutez $\frac{1}{x^{\frac{6}{5}}}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{\frac{6}{5}}}$

Étape 13

Déterminez la primitive de $\frac{1}{x^{\frac{6}{5}}}$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{\frac{6}{5}}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{x^{\frac{6}{5}}} d x$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{1}{x^{\frac{6}{5}}} d x$

Étape 13.3

Retirez $x^{\frac{6}{5}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$g (x) = \int {(x^{\frac{6}{5}})}^{- 1} d x$

Étape 13.4

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{6}{5}})}^{- 1}$ .

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Étape 13.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (x) = \int x^{\frac{6}{5} \cdot - 1} d x$

Étape 13.4.2

Multipliez $\frac{6}{5} \cdot - 1$ .

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Étape 13.4.2.1

Associez $\frac{6}{5}$ et $- 1$ .

$g (x) = \int x^{\frac{6 \cdot - 1}{5}} d x$

Étape 13.4.2.2

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$g (x) = \int x^{\frac{- 6}{5}} d x$

Étape 13.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$g (x) = \int x^{- \frac{6}{5}} d x$

Étape 13.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{6}{5}}$ par rapport à $x$ est $- 5 x^{- \frac{1}{5}}$ .

$g (x) = - 5 x^{- \frac{1}{5}} + C$

Étape 13.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 13.6.1

Réécrivez $- 5 x^{- \frac{1}{5}} + C$ comme $- 5 \frac{1}{x^{\frac{1}{5}}} + C$ .

$g (x) = - 5 \frac{1}{x^{\frac{1}{5}}} + C$

Étape 13.6.2

Simplifiez

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Étape 13.6.2.1

Associez $- 5$ et $\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}$ .

$g (x) = \frac{- 5}{x^{\frac{1}{5}}} + C$

Étape 13.6.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$g (x) = - \frac{5}{x^{\frac{1}{5}}} + C$

Étape 14

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = \frac{5 y}{x^{\frac{6}{5}}} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{5 y}{x^{\frac{6}{5}}} - \frac{5}{x^{\frac{1}{5}}} + C$