Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d t} + 3 y = 7$ , $y (0) = 1$

Étape 1

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (t) d t}$ , où $P (t) = 3$ .

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Étape 1.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int 3 d t}$

Étape 1.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{3 t + C}$

Étape 1.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{3 t}$

Étape 2

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{3 t}$ .

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme par $e^{3 t}$ .

$e^{3 t} \frac{d y}{d t} + e^{3 t} (3 y) = e^{3 t} \cdot 7$

Étape 2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{3 t} \frac{d y}{d t} + 3 e^{3 t} y = e^{3 t} \cdot 7$

Étape 2.3

Déplacez $7$ à gauche de $e^{3 t}$ .

$e^{3 t} \frac{d y}{d t} + 3 e^{3 t} y = 7 \cdot e^{3 t}$

Étape 2.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{3 t} \frac{d y}{d t} + 3 e^{3 t} y = 7 e^{3 t}$ .

$e^{3 t} \frac{d y}{d t} + 3 y e^{3 t} = 7 e^{3 t}$

Étape 3

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d t} [e^{3 t} y] = 7 e^{3 t}$

Étape 4

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d t} [e^{3 t} y] d t = \int 7 e^{3 t} d t$

Étape 5

Intégrez le côté gauche.

$e^{3 t} y = \int 7 e^{3 t} d t$

Étape 6

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.1

Comme $7$ est constant par rapport à $t$ , placez $7$ en dehors de l’intégrale.

$e^{3 t} y = 7 \int e^{3 t} d t$

Étape 6.2

Laissez $u = 3 t$ . Alors $d u = 3 d t$ , donc $\frac{1}{3} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.2.1

Laissez $u = 3 t$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 6.2.1.1

Différenciez $3 t$ .

$\frac{d}{d t} [3 t]$

Étape 6.2.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $3 t$ par rapport à $t$ est $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 6.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$3$

Étape 6.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{3 t} y = 7 \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Étape 6.3

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{3}$ .

$e^{3 t} y = 7 \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Étape 6.4

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{3 t} y = 7 (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

Étape 6.5

Associez $\frac{1}{3}$ et $7$ .

$e^{3 t} y = \frac{7}{3} \int e^{u} d u$

Étape 6.6

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$e^{3 t} y = \frac{7}{3} (e^{u} + C)$

Étape 6.7

Simplifiez

$e^{3 t} y = \frac{7}{3} e^{u} + C$

Étape 6.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 t$ .

$e^{3 t} y = \frac{7}{3} e^{3 t} + C$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $e^{3 t} y = \frac{7}{3} e^{3 t} + C$ par $e^{3 t}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $e^{3 t} y = \frac{7}{3} e^{3 t} + C$ par $e^{3 t}$ .

$\frac{e^{3 t} y}{e^{3 t}} = \frac{\frac{7}{3} e^{3 t}}{e^{3 t}} + \frac{C}{e^{3 t}}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{3 t}$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{3 t} y}{e^{3 t}} = \frac{\frac{7}{3} e^{3 t}}{e^{3 t}} + \frac{C}{e^{3 t}}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\frac{7}{3} e^{3 t}}{e^{3 t}} + \frac{C}{e^{3 t}}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Annulez le facteur commun de $e^{3 t}$ .

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Étape 7.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{\frac{7}{3} e^{3 t}}{e^{3 t}} + \frac{C}{e^{3 t}}$

Étape 7.3.1.2

Divisez $\frac{7}{3}$ par $1$ .

$y = \frac{7}{3} + \frac{C}{e^{3 t}}$

Étape 8

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $C$ en remplaçant $t$ par $0$ et $y$ par $1$ dans $y = \frac{7}{3} + \frac{C}{e^{3 t}}$ .

$1 = \frac{7}{3} + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}}$

Étape 9

Résolvez $C$ .

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Étape 9.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{7}{3} + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 1$ .

$\frac{7}{3} + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 1$

Étape 9.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.1.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{7}{3} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Étape 9.2.1.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{7}{3} + \frac{C}{1} = 1$

Étape 9.2.2

Divisez $C$ par $1$ .

$\frac{7}{3} + C = 1$

Étape 9.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $C$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.3.1

Soustrayez $\frac{7}{3}$ des deux côtés de l’équation.

$C = 1 - \frac{7}{3}$

Étape 9.3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$C = \frac{3}{3} - \frac{7}{3}$

Étape 9.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$C = \frac{3 - 7}{3}$

Étape 9.3.4

Soustrayez $7$ de $3$ .

$C = \frac{- 4}{3}$

Étape 9.3.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$C = - \frac{4}{3}$

Étape 10

Remplacez $C$ par $- \frac{4}{3}$ dans $y = \frac{7}{3} + \frac{C}{e^{3 t}}$ et simplifiez.

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Étape 10.1

Remplacez $C$ par $- \frac{4}{3}$ .

$y = \frac{7}{3} + \frac{- \frac{4}{3}}{e^{3 t}}$

Étape 10.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = \frac{7}{3} - \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{e^{3 t}}$

Étape 10.2.2

Multipliez $\frac{1}{e^{3 t}}$ par $\frac{4}{3}$ .

$y = \frac{7}{3} - \frac{4}{e^{3 t} \cdot 3}$

Étape 10.2.3

Déplacez $3$ à gauche de $e^{3 t}$ .

$y = \frac{7}{3} - \frac{4}{3 e^{3 t}}$