Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d^{2} x}{d t^{2}} = e^{2 t}$

Étape 1

intégrez les deux côtés par rapport à $t$ .

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Étape 1.1

La dérivée première est égale à l’intégrale de la dérivée seconde par rapport à $t$ .

$\frac{d x}{d t} = \int e^{2 t} d t$

Étape 1.2

Laissez $u_{1} = 2 t$ . Alors $d u_{1} = 2 d t$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = d t$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 1.2.1

Laissez $u_{1} = 2 t$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

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Étape 1.2.1.1

Différenciez $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Étape 1.2.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 1.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 1.2.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 1.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\frac{d x}{d t} = \int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 1.3

Associez $e^{u_{1}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d x}{d t} = \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1}$

Étape 1.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{d x}{d t} = \frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}$

Étape 1.5

L’intégrale de $e^{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $e^{u_{1}}$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{1})$

Étape 1.6

Simplifiez

$\frac{d x}{d t} = \frac{1}{2} e^{u_{1}} + C_{1}$

Étape 1.7

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 t$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{1}{2} e^{2 t} + C_{1}$

Étape 2

Réécrivez l’équation.

$d x = (\frac{1}{2} e^{2 t} + C_{1}) d t$

Étape 3

Intégrez les deux côtés.

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Étape 3.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d x = \int \frac{1}{2} e^{2 t} + C_{1} d t$

Étape 3.2

Appliquez la règle de la constante.

$x + C_{2} = \int \frac{1}{2} e^{2 t} + C_{1} d t$

Étape 3.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$x + C_{2} = \int \frac{1}{2} e^{2 t} d t + \int C_{1} d t$

Étape 3.3.2

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$x + C_{2} = \frac{1}{2} \int e^{2 t} d t + \int C_{1} d t$

Étape 3.3.3

Laissez $u_{2} = 2 t$ . Alors $d u_{2} = 2 d t$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 3.3.3.1

Laissez $u_{2} = 2 t$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Étape 3.3.3.1.1

Différenciez $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Étape 3.3.3.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 3.3.3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 3.3.3.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 3.3.3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$x + C_{2} = \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2} + \int C_{1} d t$

Étape 3.3.4

Associez $e^{u_{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$x + C_{2} = \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2} + \int C_{1} d t$

Étape 3.3.5

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$x + C_{2} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}) + \int C_{1} d t$

Étape 3.3.6

Simplifiez

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Étape 3.3.6.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x + C_{2} = \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int C_{1} d t$

Étape 3.3.6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x + C_{2} = \frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int C_{1} d t$

Étape 3.3.7

L’intégrale de $e^{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $e^{u_{2}}$ .

$x + C_{2} = \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C_{3}) + \int C_{1} d t$

Étape 3.3.8

Appliquez la règle de la constante.

$x + C_{2} = \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C_{3}) + C_{1} t + C_{4}$

Étape 3.3.9

Simplifiez

$x + C_{2} = \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C_{1} t + C_{5}$

Étape 3.3.10

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 t$ .

$x + C_{2} = \frac{1}{4} e^{2 t} + C_{1} t + C_{5}$

Étape 3.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $D$ .

$x = \frac{1}{4} e^{2 t} + C t + D$