Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x}{y}$

Étape 1

Laissez $V = \frac{x}{y}$ . Remplacez $\frac{x}{y}$ par $V$ .

$\frac{d x}{d y} = - V$

Étape 2

Résolvez $V = \frac{x}{y}$ pour $x$ .

$x = V y$

Étape 3

Utilisez la règle de produit pour déterminer la dérivée de $x = V y$ par rapport à $y$ .

$\frac{d x}{d y} = y \frac{d V}{d y} + V$

Étape 4

Remplacez $\frac{d x}{d y}$ par $y \frac{d V}{d y} + V$ .

$y \frac{d V}{d y} + V = - V$

Étape 5

Résolvez l’équation différentielle remplacée.

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Étape 5.1

Séparez les variables.

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Étape 5.1.1

Résolvez $\frac{d V}{d y}$ .

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Étape 5.1.1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d V}{d y}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1.1.1.1

Soustrayez $V$ des deux côtés de l’équation.

$y \frac{d V}{d y} = - V - V$

Étape 5.1.1.1.2

Soustrayez $V$ de $- V$ .

$y \frac{d V}{d y} = - 2 V$

Étape 5.1.1.2

Divisez chaque terme dans $y \frac{d V}{d y} = - 2 V$ par $y$ et simplifiez.

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Étape 5.1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $y \frac{d V}{d y} = - 2 V$ par $y$ .

$\frac{y \frac{d V}{d y}}{y} = \frac{- 2 V}{y}$

Étape 5.1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \frac{d V}{d y}}{y} = \frac{- 2 V}{y}$

Étape 5.1.1.2.2.1.2

Divisez $\frac{d V}{d y}$ par $1$ .

$\frac{d V}{d y} = \frac{- 2 V}{y}$

Étape 5.1.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1.1.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d V}{d y} = - \frac{2 V}{y}$

Étape 5.1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{V}$ .

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d y} = \frac{1}{V} (- \frac{2 V}{y})$

Étape 5.1.3

Simplifiez

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Étape 5.1.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d y} = - \frac{1}{V} \cdot \frac{2 V}{y}$

Étape 5.1.3.2

Annulez le facteur commun de $V$ .

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Étape 5.1.3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{V}$ dans le numérateur.

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d y} = \frac{- 1}{V} \cdot \frac{2 V}{y}$

Étape 5.1.3.2.2

Factorisez $V$ à partir de $2 V$ .

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d y} = \frac{- 1}{V} \cdot \frac{V \cdot 2}{y}$

Étape 5.1.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d y} = \frac{- 1}{V} \cdot \frac{V \cdot 2}{y}$

Étape 5.1.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d y} = - \frac{2}{y}$

Étape 5.1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{V} d V = - \frac{2}{y} d y$

Étape 5.2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 5.2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{V} d V = \int - \frac{2}{y} d y$

Étape 5.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{V}$ par rapport à $V$ est $\ln (| V |)$ .

$\ln (| V |) + C_{1} = \int - \frac{2}{y} d y$

Étape 5.2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| V |) + C_{1} = - \int \frac{2}{y} d y$

Étape 5.2.3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| V |) + C_{1} = - (2 \int \frac{1}{y} d y)$

Étape 5.2.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\ln (| V |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{y} d y$

Étape 5.2.3.4

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| V |) + C_{1} = - 2 (\ln (| y |) + C_{2})$

Étape 5.2.3.5

Simplifiez

$\ln (| V |) + C_{1} = - 2 \ln (| y |) + C_{2}$

Étape 5.2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| V |) = - 2 \ln (| y |) + C$

Étape 5.3

Résolvez $V$ .

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Étape 5.3.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| V |) + 2 \ln (| y |) = C$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Simplifiez $\ln (| V |) + 2 \ln (| y |)$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.2.1.1.1

Simplifiez $2 \ln (| y |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\ln (| V |) + \ln ({| y |}^{2}) = C$

Étape 5.3.2.1.1.2

Retirez la valeur absolue dans ${| y |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$\ln (| V |) + \ln (y^{2}) = C$

Étape 5.3.2.1.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| V | y^{2}) = C$

Étape 5.3.2.1.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\ln (| V | y^{2})$ .

$\ln (y^{2} | V |) = C$

Étape 5.3.3

Pour résoudre $V$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (y^{2} | V |)} = e^{C}$

Étape 5.3.4

Réécrivez $\ln (y^{2} | V |) = C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{C} = y^{2} | V |$

Étape 5.3.5

Résolvez $V$ .

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Étape 5.3.5.1

Réécrivez l’équation comme $y^{2} | V | = e^{C}$ .

$y^{2} | V | = e^{C}$

Étape 5.3.5.2

Divisez chaque terme dans $y^{2} | V | = e^{C}$ par $y^{2}$ et simplifiez.

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Étape 5.3.5.2.1

Divisez chaque terme dans $y^{2} | V | = e^{C}$ par $y^{2}$ .

$\frac{y^{2} | V |}{y^{2}} = \frac{e^{C}}{y^{2}}$

Étape 5.3.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 5.3.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2} | V |}{y^{2}} = \frac{e^{C}}{y^{2}}$

Étape 5.3.5.2.2.1.2

Divisez $| V |$ par $1$ .

$| V | = \frac{e^{C}}{y^{2}}$

Étape 5.3.5.3

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$V = \pm \frac{e^{C}}{y^{2}}$

Étape 5.4

Regroupez les termes constants.

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Étape 5.4.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$V = \pm \frac{C}{y^{2}}$

Étape 5.4.2

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$V = C \frac{1}{y^{2}}$

Étape 6

Remplacez $V$ par $\frac{x}{y}$ .

$\frac{x}{y} = C \frac{1}{y^{2}}$

Étape 7

Résolvez $\frac{x}{y} = C \frac{1}{y^{2}}$ pour $x$ .

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Étape 7.1

Multipliez les deux côtés par $y$ .

$\frac{x}{y} y = C (\frac{1}{y^{2}}) y$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 7.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x}{y} y = C (\frac{1}{y^{2}}) y$

Étape 7.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = C (\frac{1}{y^{2}}) y$

Étape 7.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.2.1

Simplifiez $C (\frac{1}{y^{2}}) y$ .

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Étape 7.2.2.1.1

Associez $C$ et $\frac{1}{y^{2}}$ .

$x = \frac{C}{y^{2}} y$

Étape 7.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 7.2.2.1.2.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2}$ .

$x = \frac{C}{y \cdot y} y$

Étape 7.2.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{C}{y \cdot y} y$

Étape 7.2.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{C}{y}$