Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d s}{d t} = \cos (t) - \sin (t)$ , $s (0) = 3$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d s = (\cos (t) - \sin (t)) d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d s = \int \cos (t) - \sin (t) d t$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$s + C_{1} = \int \cos (t) - \sin (t) d t$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$s + C_{1} = \int \cos (t) d t + \int - \sin (t) d t$

Étape 2.3.2

L’intégrale de $\cos (t)$ par rapport à $t$ est $\sin (t)$ .

$s + C_{1} = \sin (t) + C_{2} + \int - \sin (t) d t$

Étape 2.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$s + C_{1} = \sin (t) + C_{2} - \int \sin (t) d t$

Étape 2.3.4

L’intégrale de $\sin (t)$ par rapport à $t$ est $- \cos (t)$ .

$s + C_{1} = \sin (t) + C_{2} - (- \cos (t) + C_{3})$

Étape 2.3.5

Simplifiez

$s + C_{1} = \sin (t) + \cos (t) + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$s = \sin (t) + \cos (t) + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $t$ par $0$ et $s$ par $3$ dans $s = \sin (t) + \cos (t) + K$ .

$3 = \sin (0) + \cos (0) + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $\sin (0) + \cos (0) + K = 3$ .

$\sin (0) + \cos (0) + K = 3$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Simplifiez $\sin (0) + \cos (0) + K$ .

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Étape 4.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$0 + \cos (0) + K = 3$

Étape 4.2.1.1.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$0 + 1 + K = 3$

Étape 4.2.1.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$1 + K = 3$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.3.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$K = 3 - 1$

Étape 4.3.2

Soustrayez $1$ de $3$ .

$K = 2$

Étape 5

Remplacez $K$ par $2$ dans $s = \sin (t) + \cos (t) + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $2$ .

$s = \sin (t) + \cos (t) + 2$