Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x) (y^{2} + 1)}{x y}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x)}{x} \cdot \frac{y^{2} + 1}{y}$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{y}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 1} (\frac{\ln (x)}{x} \cdot \frac{y^{2} + 1}{y})$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Multipliez $\frac{\ln (x)}{x}$ par $\frac{y^{2} + 1}{y}$ .

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 1} \cdot \frac{\ln (x) (y^{2} + 1)}{x y}$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.3.2.1

Factorisez $y$ à partir de $x y$ .

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 1} \cdot \frac{\ln (x) (y^{2} + 1)}{y x}$

Étape 1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 1} \cdot \frac{\ln (x) (y^{2} + 1)}{y x}$

Étape 1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{\ln (x) (y^{2} + 1)}{x}$

Étape 1.3.3

Annulez le facteur commun de $y^{2} + 1$ .

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Étape 1.3.3.1

Factorisez $y^{2} + 1$ à partir de $\ln (x) (y^{2} + 1)$ .

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{(y^{2} + 1) \ln (x)}{x}$

Étape 1.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{(y^{2} + 1) \ln (x)}{x}$

Étape 1.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x)}{x}$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{y}{y^{2} + 1} d y = \frac{\ln (x)}{x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{y}{y^{2} + 1} d y = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u_{1} = y^{2} + 1$ . Alors $d u_{1} = 2 y d y$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u_{1} = y^{2} + 1$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $y^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} + 1]$

Étape 2.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{2} + 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 2.2.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 2.2.1.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$2 y + 0$

Étape 2.2.1.1.5

Additionnez $2 y$ et $0$ .

$2 y$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Multipliez $\frac{1}{u_{1}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Étape 2.2.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Étape 2.2.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Étape 2.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Étape 2.2.5

Simplifiez

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Étape 2.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Laissez $u_{2} = \ln (x)$ . Alors $d u_{2} = \frac{1}{x} d x$ , donc $x d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Laissez $u_{2} = \ln (x)$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Différenciez $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 2.3.1.1.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \int u_{2} d u_{2}$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u_{2}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\ln (x)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |)) = 2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |))$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (| y^{2} + 1 |)$ .

$2 \frac{\ln (| y^{2} + 1 |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{\ln (| y^{2} + 1 |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln^{2} (x)$ .

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 (\frac{\ln^{2} (x)}{2} + C)$

Étape 3.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 \frac{\ln^{2} (x)}{2} + 2 C$

Étape 3.2.2.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 \frac{\ln^{2} (x)}{2} + 2 C$

Étape 3.2.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (| y^{2} + 1 |) = \ln^{2} (x) + 2 C$

Étape 3.3

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| y^{2} + 1 |)} = e^{\ln^{2} (x) + 2 C}$

Étape 3.4

Réécrivez $\ln (| y^{2} + 1 |) = \ln^{2} (x) + 2 C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{\ln^{2} (x) + 2 C} = | y^{2} + 1 |$

Étape 3.5

Résolvez $y$ .

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Étape 3.5.1

Réécrivez l’équation comme $| y^{2} + 1 | = e^{\ln^{2} (x) + 2 C}$ .

$| y^{2} + 1 | = e^{\ln^{2} (x) + 2 C}$

Étape 3.5.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y^{2} + 1 = \pm e^{\ln^{2} (x) + 2 C}$

Étape 3.5.3

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} = \pm e^{\ln^{2} (x) + 2 C} - 1$

Étape 3.5.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{\ln^{2} (x) + 2 C} - 1}$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{\ln^{2} (x) + C} - 1}$

Étape 4.2

Réécrivez $e^{\ln^{2} (x) + C}$ comme $e^{\ln^{2} (x)} e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt{\pm e^{\ln^{2} (x)} e^{C} - 1}$

Étape 4.3

Remettez dans l’ordre $e^{\ln^{2} (x)}$ et $e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt{\pm e^{C} e^{\ln^{2} (x)} - 1}$

Étape 4.4

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = \pm \sqrt{C e^{\ln^{2} (x)} - 1}$