Calcul infinitésimal Exemples

$2 \frac{d y}{d x} - \frac{1}{y} = \frac{2 x}{y}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Résolvez $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Soustrayez $\frac{2 x}{y}$ des deux côtés de l’équation.

$2 \frac{d y}{d x} - \frac{1}{y} - \frac{2 x}{y} = 0$

Étape 1.1.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d y}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1.2.1

Ajoutez $\frac{1}{y}$ aux deux côtés de l’équation.

$2 \frac{d y}{d x} - \frac{2 x}{y} = \frac{1}{y}$

Étape 1.1.2.2

Ajoutez $\frac{2 x}{y}$ aux deux côtés de l’équation.

$2 \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} + \frac{2 x}{y}$

Étape 1.1.3

Divisez chaque terme dans $2 \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} + \frac{2 x}{y}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 1.1.3.1

Divisez chaque terme dans $2 \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} + \frac{2 x}{y}$ par $2$ .

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} = \frac{\frac{1}{y}}{2} + \frac{\frac{2 x}{y}}{2}$

Étape 1.1.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.1.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} = \frac{\frac{1}{y}}{2} + \frac{\frac{2 x}{y}}{2}$

Étape 1.1.3.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{1}{y}}{2} + \frac{\frac{2 x}{y}}{2}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.3.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{1}{2} + \frac{\frac{2 x}{y}}{2}$

Étape 1.1.3.3.1.2

Multipliez $\frac{1}{y}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y \cdot 2} + \frac{\frac{2 x}{y}}{2}$

Étape 1.1.3.3.1.3

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 \cdot y} + \frac{\frac{2 x}{y}}{2}$

Étape 1.1.3.3.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y} + \frac{2 x}{y} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 1.1.3.3.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.1.3.3.1.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y} + \frac{2 (x)}{y} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 1.1.3.3.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y} + \frac{2 x}{y} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 1.1.3.3.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y} + \frac{x}{y}$

Étape 1.2

Factorisez.

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Étape 1.2.1

Pour écrire $\frac{x}{y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y} + \frac{x}{y} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 1.2.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $2 y$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.2.2.1

Multipliez $\frac{x}{y}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y} + \frac{x \cdot 2}{y \cdot 2}$

Étape 1.2.2.2

Réorganisez les facteurs de $y \cdot 2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y} + \frac{x \cdot 2}{2 y}$

Étape 1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + x \cdot 2}{2 y}$

Étape 1.2.4

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + 2 x}{2 y}$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{1 + 2 x}{2 y}$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.4.1

Factorisez $y$ à partir de $2 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{1 + 2 x}{y \cdot 2}$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{1 + 2 x}{y \cdot 2}$

Étape 1.4.3

Réécrivez l’expression.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{1 + 2 x}{2}$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$y d y = \frac{1 + 2 x}{2} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y d y = \int \frac{1 + 2 x}{2} d x$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 + 2 x}{2} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int 1 + 2 x d x$

Étape 2.3.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (\int d x + \int 2 x d x)$

Étape 2.3.3

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (x + C_{2} + \int 2 x d x)$

Étape 2.3.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (x + C_{2} + 2 \int x d x)$

Étape 2.3.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (x + C_{2} + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}))$

Étape 2.3.6

Simplifiez

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (x + x^{2}) + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} (x + x^{2}) + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} (x + x^{2}) + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} (x + x^{2}) + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} (x + x^{2}) + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} (x + x^{2}) + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} (x + x^{2}) + K)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Étape 3.2.2.1.1.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $x$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x}{2} + \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Étape 3.2.2.1.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{2} + K)$

Étape 3.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = 2 \frac{x}{2} + 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3

Simplifiez

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Étape 3.2.2.1.3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$y^{2} = 2 \frac{x}{2} + 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = x + 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{2} = x + 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = x + x^{2} + 2 K$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{x + x^{2} + 2 K}$

Étape 3.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{x + x^{2} + 2 K}$

Étape 3.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{x + x^{2} + 2 K}$

Étape 3.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{x + x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{x + x^{2} + 2 K}$

$y = \sqrt{x + x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{x + x^{2} + 2 K}$

$y = \sqrt{x + x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{x + x^{2} + 2 K}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \sqrt{x + x^{2} + K}$

$y = - \sqrt{x + x^{2} + K}$