Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \csc^{2} (x) - 20 x^{4}$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = (\csc^{2} (x) - 20 x^{4}) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int \csc^{2} (x) - 20 x^{4} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int \csc^{2} (x) - 20 x^{4} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int \csc^{2} (x) d x + \int - 20 x^{4} d x$

Étape 2.3.2

Comme la dérivée de $- \cot (x)$ est $\csc^{2} (x)$ , l’intégrale de $\csc^{2} (x)$ est $- \cot (x)$ .

$y + C_{1} = - \cot (x) + C_{2} + \int - 20 x^{4} d x$

Étape 2.3.3

Comme $- 20$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 20$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = - \cot (x) + C_{2} - 20 \int x^{4} d x$

Étape 2.3.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$y + C_{1} = - \cot (x) + C_{2} - 20 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{3})$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Simplifiez

$y + C_{1} = - \cot (x) - 20 (\frac{1}{5}) x^{5} + C_{4}$

Étape 2.3.5.2

Simplifiez

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Étape 2.3.5.2.1

Associez $- 20$ et $\frac{1}{5}$ .

$y + C_{1} = - \cot (x) + \frac{- 20}{5} x^{5} + C_{4}$

Étape 2.3.5.2.2

Annulez le facteur commun à $- 20$ et $5$ .

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Étape 2.3.5.2.2.1

Factorisez $5$ à partir de $- 20$ .

$y + C_{1} = - \cot (x) + \frac{5 \cdot - 4}{5} x^{5} + C_{4}$

Étape 2.3.5.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.5.2.2.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$y + C_{1} = - \cot (x) + \frac{5 \cdot - 4}{5 (1)} x^{5} + C_{4}$

Étape 2.3.5.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y + C_{1} = - \cot (x) + \frac{5 \cdot - 4}{5 \cdot 1} x^{5} + C_{4}$

Étape 2.3.5.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y + C_{1} = - \cot (x) + \frac{- 4}{1} x^{5} + C_{4}$

Étape 2.3.5.2.2.2.4

Divisez $- 4$ par $1$ .

$y + C_{1} = - \cot (x) - 4 x^{5} + C_{4}$

Étape 2.3.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{1} = - 4 x^{5} - \cot (x) + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = - 4 x^{5} - \cot (x) + K$