Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} \frac{d w}{d x} = \sqrt{w} (9 x + 1)$

Étape 1

Séparez les variables.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $x^{2} \frac{d w}{d x} = \sqrt{w} (9 x + 1)$ par $x^{2}$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Divisez chaque terme dans $x^{2} \frac{d w}{d x} = \sqrt{w} (9 x + 1)$ par $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d w}{d x}}{x^{2}} = \frac{\sqrt{w} (9 x + 1)}{x^{2}}$

Étape 1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} \frac{d w}{d x}}{x^{2}} = \frac{\sqrt{w} (9 x + 1)}{x^{2}}$

Étape 1.1.2.1.2

Divisez $\frac{d w}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d w}{d x} = \frac{\sqrt{w} (9 x + 1)}{x^{2}}$

Étape 1.2

Regroupez des facteurs.

$\frac{d w}{d x} = \sqrt{w} \frac{9 x + 1}{x^{2}}$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{\sqrt{w}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{1}{\sqrt{w}} (\sqrt{w} \frac{9 x + 1}{x^{2}})$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun de $\sqrt{w}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{1}{\sqrt{w}} (\sqrt{w} \frac{9 x + 1}{x^{2}})$

Étape 1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{9 x + 1}{x^{2}}$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{\sqrt{w}} d w = \frac{9 x + 1}{x^{2}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{\sqrt{w}} d w = \int \frac{9 x + 1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{w}$ comme $w^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{w^{\frac{1}{2}}} d w = \int \frac{9 x + 1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.1.2

Retirez $w^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(w^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d w = \int \frac{9 x + 1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(w^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int w^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d w = \int \frac{9 x + 1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.1.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\int w^{\frac{- 1}{2}} d w = \int \frac{9 x + 1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.1.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int w^{- \frac{1}{2}} d w = \int \frac{9 x + 1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $w^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $w$ est $2 w^{\frac{1}{2}}$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{9 x + 1}{x^{2}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int (9 x + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 2.3.1.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int (9 x + 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 2.3.1.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int (9 x + 1) x^{- 2} d x$

Étape 2.3.2

Multipliez $(9 x + 1) x^{- 2}$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 9 x \cdot x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Étape 2.3.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1

Multipliez $x$ par $x^{- 2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1.1

Déplacez $x^{- 2}$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 9 (x^{- 2} x) + 1 x^{- 2} d x$

Étape 2.3.3.1.2

Multipliez $x^{- 2}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 9 (x^{- 2} x^{1}) + 1 x^{- 2} d x$

Étape 2.3.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 9 x^{- 2 + 1} + 1 x^{- 2} d x$

Étape 2.3.3.1.3

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 9 x^{- 1} + 1 x^{- 2} d x$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $x^{- 2}$ par $1$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 9 x^{- 1} + x^{- 2} d x$

Étape 2.3.4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 9 x^{- 1} d x + \int x^{- 2} d x$

Étape 2.3.5

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , placez $9$ en dehors de l’intégrale.

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 9 \int x^{- 1} d x + \int x^{- 2} d x$

Étape 2.3.6

L’intégrale de $x^{- 1}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 9 (\ln (| x |) + C_{2}) + \int x^{- 2} d x$

Étape 2.3.7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 9 (\ln (| x |) + C_{2}) - x^{- 1} + C_{3}$

Étape 2.3.8

Simplifiez

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 9 \ln (| x |) - \frac{1}{x} + C_{4}$

Étape 2.3.9

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{x} + 9 \ln (| x |) + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x} + 9 \ln (| x |) + C$

Étape 3

Résolvez $w$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $2 w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x} + 9 \ln (| x |) + C$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Divisez chaque terme dans $2 w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x} + 9 \ln (| x |) + C$ par $2$ .

$\frac{2 w^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{- \frac{1}{x}}{2} + \frac{9 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 w^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{- \frac{1}{x}}{2} + \frac{9 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Étape 3.1.2.2

Divisez $w^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$w^{\frac{1}{2}} = \frac{- \frac{1}{x}}{2} + \frac{9 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Étape 3.1.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.3.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{2} + \frac{9 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Étape 3.1.3.1.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{x}$ .

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x} + \frac{9 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Étape 3.1.3.1.3

Réécrivez $\frac{9 \ln (| x |)}{2}$ comme $\frac{9}{2} \ln (| x |)$ .

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x} + \frac{9}{2} \ln (| x |) + \frac{C}{2}$

Étape 3.1.3.1.4

Simplifiez $\frac{9}{2} \ln (| x |)$ en déplaçant $\frac{9}{2}$ dans le logarithme.

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x} + \ln ({| x |}^{\frac{9}{2}}) + \frac{C}{2}$

Étape 3.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $2$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(w^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \frac{1}{2 x} + \ln ({| x |}^{\frac{9}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Simplifiez ${(w^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.1

Multipliez les exposants dans ${(w^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$w^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{1}{2 x} + \ln ({| x |}^{\frac{9}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Étape 3.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$w^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{1}{2 x} + \ln ({| x |}^{\frac{9}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Étape 3.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$w^{1} = {(- \frac{1}{2 x} + \ln ({| x |}^{\frac{9}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez

$w = {(- \frac{1}{2 x} + \ln ({| x |}^{\frac{9}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$w = {(- \frac{1}{2 x} + \ln ({| x |}^{\frac{9}{2}}) + C)}^{2}$