Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 2 x - 2 y$

Étape 1

Ajoutez $2 y$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} + 2 y = 2 x$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = 2$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int 2 d x}$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{2 x + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{2 x}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{2 x}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (2 y) = e^{2 x} (2 x)$

Étape 3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} (2 x)$

Étape 3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 2 e^{2 x} x$

Étape 3.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 2 e^{2 x} x$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = 2 x e^{2 x}$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = 2 x e^{2 x}$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int 2 x e^{2 x} d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$e^{2 x} y = \int 2 x e^{2 x} d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{2 x} y = 2 \int x e^{2 x} d x$

Étape 7.2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = 2 (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Étape 7.3

Simplifiez

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Étape 7.3.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = 2 (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Étape 7.3.2

Associez $x$ et $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Étape 7.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x)$

Étape 7.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))$

Étape 7.5

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 7.5.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 7.5.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 7.5.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7.5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 7.5.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 7.5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u)$

Étape 7.6

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

Étape 7.7

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

Étape 7.8

Simplifiez

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Étape 7.8.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Étape 7.8.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Étape 7.9

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

Étape 7.10

Réécrivez $2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ comme $2 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Étape 7.11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

Étape 7.12

Simplifiez

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Étape 7.12.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.12.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

Étape 7.12.1.2

Associez $\frac{x}{2}$ et $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

Étape 7.12.1.3

Associez $e^{2 x}$ et $\frac{1}{4}$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Étape 7.12.2

Appliquez la propriété distributive.

$e^{2 x} y = 2 \frac{x e^{2 x}}{2} + 2 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Étape 7.12.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.12.3.1

Annulez le facteur commun.

$e^{2 x} y = 2 \frac{x e^{2 x}}{2} + 2 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Étape 7.12.3.2

Réécrivez l’expression.

$e^{2 x} y = x e^{2 x} + 2 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Étape 7.12.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.12.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{e^{2 x}}{4}$ dans le numérateur.

$e^{2 x} y = x e^{2 x} + 2 \frac{- e^{2 x}}{4} + C$

Étape 7.12.4.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$e^{2 x} y = x e^{2 x} + 2 \frac{- e^{2 x}}{2 (2)} + C$

Étape 7.12.4.3

Annulez le facteur commun.

$e^{2 x} y = x e^{2 x} + 2 \frac{- e^{2 x}}{2 \cdot 2} + C$

Étape 7.12.4.4

Réécrivez l’expression.

$e^{2 x} y = x e^{2 x} + \frac{- e^{2 x}}{2} + C$

Étape 7.12.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{2 x} y = x e^{2 x} - \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Étape 7.12.6

Pour écrire $x e^{2 x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$e^{2 x} y = x e^{2 x} \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Étape 7.12.7

Associez $x e^{2 x}$ et $\frac{2}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x} \cdot 2}{2} - \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Étape 7.12.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x} \cdot 2 - e^{2 x}}{2} + C$

Étape 7.12.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.12.9.1

Déplacez $2$ à gauche de $x e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \frac{2 \cdot (x e^{2 x}) - e^{2 x}}{2} + C$

Étape 7.12.9.2

Factorisez $e^{2 x}$ à partir de $2 x e^{2 x} - e^{2 x}$ .

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Étape 7.12.9.2.1

Factorisez $e^{2 x}$ à partir de $2 x e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \frac{e^{2 x} (2 x) - e^{2 x}}{2} + C$

Étape 7.12.9.2.2

Factorisez $e^{2 x}$ à partir de $- e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \frac{e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1}{2} + C$

Étape 7.12.9.2.3

Factorisez $e^{2 x}$ à partir de $e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1$ .

$e^{2 x} y = \frac{e^{2 x} (2 x - 1)}{2} + C$

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x - 1) + C$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} (2 x - 1)) + C$ par $e^{2 x}$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} (2 x - 1)) + C$ par $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} (2 x - 1))}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{2 x}$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} (2 x - 1))}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} (2 x - 1))}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} (2 x - 1)) + C}{e^{2 x}}$

Étape 8.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1) + C}{e^{2 x}}$

Étape 8.3.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (2 e^{2 x} x + e^{2 x} \cdot - 1) + C}{e^{2 x}}$

Étape 8.3.2.3

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (2 e^{2 x} x - 1 \cdot e^{2 x}) + C}{e^{2 x}}$

Étape 8.3.2.4

Réécrivez $- 1 e^{2 x}$ comme $- e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (2 e^{2 x} x - e^{2 x}) + C}{e^{2 x}}$

Étape 8.3.2.5

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{\frac{1}{2} (2 e^{2 x} x) + \frac{1}{2} (- e^{2 x}) + C}{e^{2 x}}$

Étape 8.3.2.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.2.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2 e^{2 x} x$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} (2 (e^{2 x} x)) + \frac{1}{2} (- e^{2 x}) + C}{e^{2 x}}$

Étape 8.3.2.6.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{\frac{1}{2} (2 (e^{2 x} x)) + \frac{1}{2} (- e^{2 x}) + C}{e^{2 x}}$

Étape 8.3.2.6.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{e^{2 x} x + \frac{1}{2} (- e^{2 x}) + C}{e^{2 x}}$

Étape 8.3.2.7

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{2 x}$ .

$y = \frac{e^{2 x} x - \frac{e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

Étape 8.3.2.8

Associez $e^{2 x} x$ et $- \frac{e^{2 x}}{2}$ en utilisant un dénominateur commun.

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Étape 8.3.2.8.1

Remettez dans l’ordre $e^{2 x}$ et $x$ .

$y = \frac{x e^{2 x} - \frac{e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

Étape 8.3.2.8.2

Pour écrire $x e^{2 x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x e^{2 x} \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

Étape 8.3.2.8.3

Associez $x e^{2 x}$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{2 x} \cdot 2}{2} - \frac{e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

Étape 8.3.2.8.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\frac{x e^{2 x} \cdot 2 - e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

Étape 8.3.2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.2.9.1

Déplacez $2$ à gauche de $x e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{2 \cdot (x e^{2 x}) - e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

Étape 8.3.2.9.2

Factorisez $e^{2 x}$ à partir de $2 x e^{2 x} - e^{2 x}$ .

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Étape 8.3.2.9.2.1

Factorisez $e^{2 x}$ à partir de $2 x e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x) - e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

Étape 8.3.2.9.2.2

Factorisez $e^{2 x}$ à partir de $- e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1}{2} + C}{e^{2 x}}$

Étape 8.3.2.9.2.3

Factorisez $e^{2 x}$ à partir de $e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x - 1)}{2} + C}{e^{2 x}}$

Étape 8.3.3

Pour écrire $C$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x - 1)}{2} + C \cdot \frac{2}{2}}{e^{2 x}}$

Étape 8.3.4

Simplifiez les termes.

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Étape 8.3.4.1

Associez $C$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x - 1)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

Étape 8.3.4.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x - 1) + C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

Étape 8.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1 + C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

Étape 8.3.5.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x + e^{2 x} \cdot - 1 + C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

Étape 8.3.5.3

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x - 1 \cdot e^{2 x} + C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

Étape 8.3.5.4

Réécrivez $- 1 e^{2 x}$ comme $- e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x - e^{2 x} + C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

Étape 8.3.5.5

Déplacez $2$ à gauche de $C$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x - e^{2 x} + 2 C}{2}}{e^{2 x}}$

Étape 8.3.6

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{2 e^{2 x} x - e^{2 x} + 2 C}{2}$ .

$y = \frac{\frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} + 2 C}{2}}{e^{2 x}}$

Étape 8.3.7

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = \frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} + 2 C}{2} \cdot \frac{1}{e^{2 x}}$

Étape 8.3.8

Multipliez $\frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} + 2 C}{2}$ par $\frac{1}{e^{2 x}}$ .

$y = \frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} + 2 C}{2 e^{2 x}}$