Calcul infinitésimal Exemples

$2 x y d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

Étape 1

Écrivez le problème comme une expression mathématique.

$2 x y d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 2 x y$ .

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Étape 2.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y]$

Étape 2.2

Comme $2 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 x y$ par rapport à $y$ est $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1$

Étape 2.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x$

Étape 3

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = 6 x^{2} + y^{3}$ .

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Étape 3.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [6 x^{2} + y^{3}]$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x^{2} + y^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 3.3.3

Multipliez $2$ par $6$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 x + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.4.1

Comme $y^{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y^{3}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 x + 0$

Étape 3.4.2

Additionnez $12 x$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 x$

Étape 4

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2 x$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $12 x$ .

$2 x = 12 x$

Étape 4.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$2 x = 12 x$ n’est pas une identité.

Étape 5

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Étape 5.1

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $12 x$ .

$\frac{12 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Étape 5.2

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2 x$ .

$\frac{12 x - (2 x)}{M}$

Étape 5.3

Remplacez $M$ par $2 x y$ .

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Étape 5.3.1

Remplacez $M$ par $2 x y$ .

$\frac{12 x - (2 x)}{2 x y}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $12 x - 1 \cdot 2 x$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $12 x$ .

$\frac{x \cdot 12 - 1 \cdot 2 x}{2 x y}$

Étape 5.3.2.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 1 \cdot 2 x$ .

$\frac{x \cdot 12 + x (- 1 \cdot 2)}{2 x y}$

Étape 5.3.2.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 12 + x (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{x (12 - 1 \cdot 2)}{2 x y}$

Étape 5.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{x (12 - 2)}{2 x y}$

Étape 5.3.2.3

Soustrayez $2$ de $12$ .

$\frac{x \cdot 10}{2 x y}$

Étape 5.3.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \cdot 10}{2 x y}$

Étape 5.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{10}{2 y}$

Étape 5.3.4

Remplacez $M$ par $2 x y$ .

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Étape 5.3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 y}$

Étape 5.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 (y)}$

Étape 5.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 5}{2 y}$

Étape 5.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5}{y}$

Étape 5.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{5}{y} d y}$

Étape 6

Évaluez l’intégrale $e^{\int \frac{5}{y} d y}$ .

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Étape 6.1

Comme $5$ est constant par rapport à $y$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{5 \int \frac{1}{y} d y}$

Étape 6.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{5 (\ln (| y |) + C)}$

Étape 6.3

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{5 \ln (| y |)} + C$

Étape 6.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.4.1

Simplifiez $5 \ln (| y |)$ en déplaçant $5$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{5})} + C$

Étape 6.4.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| y |}^{5} + C$

Étape 7

Multipliez les deux côtés de $2 x y d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$ par le facteur d’intégration $y^{5}$ .

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Étape 7.1

Multipliez $2 x y$ par $y^{5}$ .

$2 x y \cdot y^{5} d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

Étape 7.2

Multipliez $y$ par $y^{5}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.2.1

Déplacez $y^{5}$ .

$2 x (y^{5} y) d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

Étape 7.2.2

Multipliez $y^{5}$ par $y$ .

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Étape 7.2.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$2 x (y^{5} y^{1}) d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

Étape 7.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x y^{5 + 1} d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

Étape 7.2.3

Additionnez $5$ et $1$ .

$2 x y^{6} d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

Étape 7.3

Multipliez $6 x^{2} + y^{3}$ par $y^{5}$ .

$2 x y^{6} d x + (6 x^{2} + y^{3}) y^{5} d y = 0$

Étape 7.4

Appliquez la propriété distributive.

$2 x y^{6} d x + (6 x^{2} y^{5} + y^{3} y^{5}) d y = 0$

Étape 7.5

Multipliez $y^{3}$ par $y^{5}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.5.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x y^{6} d x + (6 x^{2} y^{5} + y^{3 + 5}) d y = 0$

Étape 7.5.2

Additionnez $3$ et $5$ .

$2 x y^{6} d x + (6 x^{2} y^{5} + y^{8}) d y = 0$

Étape 8

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x y^{6} d x$

Étape 9

Intégrez $M (x, y) = 2 x y^{6}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 9.1

Comme $2 y^{6}$ est constant par rapport à $x$ , placez $2 y^{6}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = 2 y^{6} \int x d x$

Étape 9.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 y^{6} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 9.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.3.1

Réécrivez $2 y^{6} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ comme $2 y^{6} \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$f (x, y) = 2 y^{6} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 9.3.2

Simplifiez

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Étape 9.3.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = y^{6} \frac{2}{2} x^{2} + C$

Étape 9.3.2.2

Associez $y^{6}$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{6} \cdot 2}{2} x^{2} + C$

Étape 9.3.2.3

Déplacez $2$ à gauche de $y^{6}$ .

$f (x, y) = \frac{2 \cdot y^{6}}{2} x^{2} + C$

Étape 9.3.2.4

Multipliez $2$ par $y^{6}$ .

$f (x, y) = \frac{2 y^{6}}{2} x^{2} + C$

Étape 9.3.2.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.3.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$f (x, y) = \frac{2 y^{6}}{2} x^{2} + C$

Étape 9.3.2.5.2

Divisez $y^{6}$ par $1$ .

$f (x, y) = y^{6} x^{2} + C$

Étape 10

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = y^{6} x^{2} + g (y)$

Étape 11

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

Étape 12

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 12.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{6} x^{2} + g (y)] = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

Étape 12.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{6} x^{2} + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y^{6} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{6} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

Étape 12.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [y^{6} x^{2}]$ .

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Étape 12.3.1

Comme $x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $y^{6} x^{2}$ par rapport à $y$ est $x^{2} \frac{d}{d y} [y^{6}]$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [y^{6}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

Étape 12.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$x^{2} (6 y^{5}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

Étape 12.3.3

Déplacez $6$ à gauche de $x^{2}$ .

$6 x^{2} y^{5} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

Étape 12.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$6 x^{2} y^{5} + \frac{d g}{d y} = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

Étape 12.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} + 6 y^{5} x^{2} = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

Étape 13

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 13.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d y}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 13.1.1

Soustrayez $6 y^{5} x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = 6 x^{2} y^{5} + y^{8} - 6 y^{5} x^{2}$

Étape 13.1.2

Associez les termes opposés dans $6 x^{2} y^{5} + y^{8} - 6 y^{5} x^{2}$ .

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Étape 13.1.2.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $6 x^{2} y^{5}$ et $- 6 y^{5} x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = 6 y^{5} x^{2} + y^{8} - 6 y^{5} x^{2}$

Étape 13.1.2.2

Soustrayez $6 y^{5} x^{2}$ de $6 y^{5} x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{8} + 0$

Étape 13.1.2.3

Additionnez $y^{8}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{8}$

Étape 14

Déterminez la primitive de $y^{8}$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 14.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = y^{8}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y^{8} d y$

Étape 14.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y^{8} d y$

Étape 14.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{8}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{9} y^{9}$ .

$g (y) = \frac{1}{9} y^{9} + C$

Étape 15

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = y^{6} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = y^{6} x^{2} + \frac{1}{9} y^{9} + C$

Étape 16

Associez $\frac{1}{9}$ et $y^{9}$ .

$f (x, y) = y^{6} x^{2} + \frac{y^{9}}{9} + C$