Calcul infinitésimal Exemples

$(2 x y^{2} + 1) d x + (2 x^{2} y) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 2 x y^{2} + 1$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{2} + 1]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x y^{2} + 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [2 x y^{2}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $2 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 x y^{2}$ par rapport à $y$ est $2 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (2 y) + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + 0$

Étape 1.4.2

Additionnez $4 x y$ et $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = 2 x^{2} y$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x^{2} y]$

Étape 2.2

Comme $2 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2} y$ par rapport à $x$ est $2 y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (2 x)$

Étape 2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 y x$

Étape 2.4.2

Réorganisez les facteurs de $4 y x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x y$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $4 x y$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $4 x y$ .

$4 x y = 4 x y$

Étape 3.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$4 x y = 4 x y$ est une identité.

Étape 4

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x^{2} y d y$

Étape 5

Intégrez $N (x, y) = 2 x^{2} y$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 5.1

Comme $2 x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , placez $2 x^{2}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = 2 x^{2} \int y d y$

Étape 5.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = 2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Étape 5.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.3.1

Réécrivez $2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ comme $2 x^{2} \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = 2 x^{2} \frac{1}{2} y^{2} + C$

Étape 5.3.2

Simplifiez

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Étape 5.3.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} \frac{2}{2} y^{2} + C$

Étape 5.3.2.2

Associez $x^{2}$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} \cdot 2}{2} y^{2} + C$

Étape 5.3.2.3

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2 \cdot x^{2}}{2} y^{2} + C$

Étape 5.3.2.4

Multipliez $2$ par $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2 x^{2}}{2} y^{2} + C$

Étape 5.3.2.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$f (x, y) = \frac{2 x^{2}}{2} y^{2} + C$

Étape 5.3.2.5.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$f (x, y) = x^{2} y^{2} + C$

Étape 6

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y^{2} + g (x)$

Étape 7

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x y^{2} + 1$

Étape 8

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 8.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2} + g (x)] = 2 x y^{2} + 1$

Étape 8.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} y^{2} + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{2} + 1$

Étape 8.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

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Étape 8.3.1

Comme $y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x^{2} y^{2}$ par rapport à $x$ est $y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{2} + 1$

Étape 8.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{2} + 1$

Étape 8.3.3

Déplacez $2$ à gauche de $y^{2}$ .

$2 y^{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{2} + 1$

Étape 8.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y^{2} x + \frac{d g}{d x} = 2 x y^{2} + 1$

Étape 8.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + 2 y^{2} x = 2 x y^{2} + 1$

Étape 9

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 9.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.1.1

Soustrayez $2 y^{2} x$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = 2 x y^{2} + 1 - 2 y^{2} x$

Étape 9.1.2

Associez les termes opposés dans $2 x y^{2} + 1 - 2 y^{2} x$ .

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Étape 9.1.2.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $2 x y^{2}$ et $- 2 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 y^{2} x + 1 - 2 y^{2} x$

Étape 9.1.2.2

Soustrayez $2 y^{2} x$ de $2 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = 0 + 1$

Étape 9.1.2.3

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{d g}{d x} = 1$

Étape 10

Déterminez la primitive de $1$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 10.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = 1$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int d x$

Étape 10.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int d x$

Étape 10.3

Appliquez la règle de la constante.

$g (x) = x + C$

Étape 11

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = x^{2} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y^{2} + x + C$