Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d x}{d t} = \frac{x + 1}{t + 1}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{1}{x + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{t + 1}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{t + 1}$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{t + 1}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{x + 1} d x = \frac{1}{t + 1} d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{x + 1} d x = \int \frac{1}{t + 1} d t$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u_{1} = x + 1$ . Puis $d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u_{1} = x + 1$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 2.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.1.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.2.1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{t + 1} d t$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{t + 1} d t$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x + 1$ .

$\ln (| x + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{t + 1} d t$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Laissez $u_{2} = t + 1$ . Puis $d u_{2} = d t$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Laissez $u_{2} = t + 1$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Différenciez $t + 1$ .

$\frac{d}{d t} [t + 1]$

Étape 2.3.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t + 1$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$

Étape 2.3.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [1]$

Étape 2.3.1.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.3.1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\ln (| x + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.2

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| x + 1 |) + C_{1} = \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $t + 1$ .

$\ln (| x + 1 |) + C_{1} = \ln (| t + 1 |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| x + 1 |) = \ln (| t + 1 |) + C$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| x + 1 |) - \ln (| t + 1 |) = C$

Étape 3.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| x + 1 |}{| t + 1 |}) = C$

Étape 3.3

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{| x + 1 |}{| t + 1 |})} = e^{C}$

Étape 3.4

Réécrivez $\ln (\frac{| x + 1 |}{| t + 1 |}) = C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| x + 1 |}{| t + 1 |}$

Étape 3.5

Résolvez $x$ .

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Étape 3.5.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{| x + 1 |}{| t + 1 |} = e^{C}$ .

$\frac{| x + 1 |}{| t + 1 |} = e^{C}$

Étape 3.5.2

Multipliez les deux côtés par $| t + 1 |$ .

$\frac{| x + 1 |}{| t + 1 |} | t + 1 | = e^{C} | t + 1 |$

Étape 3.5.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.3.1

Annulez le facteur commun de $| t + 1 |$ .

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Étape 3.5.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| x + 1 |}{| t + 1 |} | t + 1 | = e^{C} | t + 1 |$

Étape 3.5.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$| x + 1 | = e^{C} | t + 1 |$

Étape 3.5.4

Résolvez $x$ .

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Étape 3.5.4.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{C} | t + 1 |$ .

$| x + 1 | = | t + 1 | e^{C}$

Étape 3.5.4.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$x + 1 = \pm | t + 1 | e^{C}$

Étape 3.5.4.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\pm | t + 1 | e^{C}$ .

$x + 1 = \pm e^{C} | t + 1 |$

Étape 3.5.4.4

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = \pm e^{C} | t + 1 | - 1$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$x = \pm C | t + 1 | - 1$

Étape 4.2

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$x = C | t + 1 | - 1$