Calcul infinitésimal Exemples

$2 (y d) x = (1 + x) d y$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$(1 + x) d y = 2 y d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{(1 + x) y}$ .

$\frac{1}{(1 + x) y} (1 + x) d y = \frac{1}{(1 + x) y} (2 y) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $1 + x$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $1 + x$ à partir de $(1 + x) y$ .

$\frac{1}{(1 + x) (y)} (1 + x) d y = \frac{1}{(1 + x) y} (2 y) d x$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{(1 + x) y} (1 + x) d y = \frac{1}{(1 + x) y} (2 y) d x$

Étape 3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(1 + x) y} (2 y) d x$

Étape 3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{y} d y = 2 \frac{1}{(1 + x) y} y d x$

Étape 3.3

Associez $2$ et $\frac{1}{(1 + x) y}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{(1 + x) y} y d x$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $y$ à partir de $(1 + x) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{y (1 + x)} y d x$

Étape 3.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{y (1 + x)} y d x$

Étape 3.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{1 + x} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{2}{1 + x} d x$

Étape 4.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{2}{1 + x} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{1 + x} d x$

Étape 4.3.2

Laissez $u = 1 + x$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.3.2.1

Laissez $u = 1 + x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Différenciez $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Étape 4.3.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.3.2.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.3.2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 1$

Étape 4.3.2.1.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$

Étape 4.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u} d u$

Étape 4.3.3

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\ln (| u |) + C_{2})$

Étape 4.3.4

Simplifiez

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \ln (| u |) + C_{2}$

Étape 4.3.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \ln (| 1 + x |) + C_{2}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y |) = 2 \ln (| 1 + x |) + C$

Étape 5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| y |) - 2 \ln (| 1 + x |) = C$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Simplifiez $\ln (| y |) - 2 \ln (| 1 + x |)$ .

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Étape 5.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1.1

Simplifiez $- 2 \ln (| 1 + x |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\ln (| y |) - \ln ({| 1 + x |}^{2}) = C$

Étape 5.2.1.1.2

Retirez la valeur absolue dans ${| 1 + x |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$\ln (| y |) - \ln ({(1 + x)}^{2}) = C$

Étape 5.2.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{{(1 + x)}^{2}}) = C$

Étape 5.3

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{| y |}{{(1 + x)}^{2}})} = e^{C}$

Étape 5.4

Réécrivez $\ln (\frac{| y |}{{(1 + x)}^{2}}) = C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{{(1 + x)}^{2}}$

Étape 5.5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.5.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{| y |}{{(1 + x)}^{2}} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{{(1 + x)}^{2}} = e^{C}$

Étape 5.5.2

Multipliez les deux côtés par ${(1 + x)}^{2}$ .

$\frac{| y |}{{(1 + x)}^{2}} {(1 + x)}^{2} = e^{C} {(1 + x)}^{2}$

Étape 5.5.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.3.1

Annulez le facteur commun de ${(1 + x)}^{2}$ .

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Étape 5.5.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| y |}{{(1 + x)}^{2}} {(1 + x)}^{2} = e^{C} {(1 + x)}^{2}$

Étape 5.5.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$| y | = e^{C} {(1 + x)}^{2}$

Étape 5.5.4

Résolvez $y$ .

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Étape 5.5.4.1

Simplifiez $e^{C} {(1 + x)}^{2}$ .

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Étape 5.5.4.1.1

Réécrivez ${(1 + x)}^{2}$ comme $(1 + x) (1 + x)$ .

$| y | = e^{C} ((1 + x) (1 + x))$

Étape 5.5.4.1.2

Développez $(1 + x) (1 + x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.5.4.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$| y | = e^{C} (1 (1 + x) + x (1 + x))$

Étape 5.5.4.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$| y | = e^{C} (1 \cdot 1 + 1 x + x (1 + x))$

Étape 5.5.4.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$| y | = e^{C} (1 \cdot 1 + 1 x + x \cdot 1 + x \cdot x)$

Étape 5.5.4.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.5.4.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.4.1.3.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$| y | = e^{C} (1 + 1 x + x \cdot 1 + x \cdot x)$

Étape 5.5.4.1.3.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$| y | = e^{C} (1 + x + x \cdot 1 + x \cdot x)$

Étape 5.5.4.1.3.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$| y | = e^{C} (1 + x + x + x \cdot x)$

Étape 5.5.4.1.3.1.4

Multipliez $x$ par $x$ .

$| y | = e^{C} (1 + x + x + x^{2})$

Étape 5.5.4.1.3.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$| y | = e^{C} (1 + 2 x + x^{2})$

Étape 5.5.4.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$| y | = e^{C} \cdot 1 + e^{C} (2 x) + e^{C} x^{2}$

Étape 5.5.4.1.5

Simplifiez

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Étape 5.5.4.1.5.1

Multipliez $e^{C}$ par $1$ .

$| y | = e^{C} + e^{C} (2 x) + e^{C} x^{2}$

Étape 5.5.4.1.5.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$| y | = e^{C} + 2 e^{C} x + e^{C} x^{2}$

Étape 5.5.4.1.6

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{C} + 2 e^{C} x + e^{C} x^{2}$ .

$| y | = e^{C} + 2 x e^{C} + x^{2} e^{C}$

Étape 5.5.4.1.7

Déplacez $e^{C}$ .

$| y | = 2 x e^{C} + x^{2} e^{C} + e^{C}$

Étape 5.5.4.1.8

Remettez dans l’ordre $2 x e^{C}$ et $x^{2} e^{C}$ .

$| y | = x^{2} e^{C} + 2 x e^{C} + e^{C}$

Étape 5.5.4.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y = \pm (x^{2} e^{C} + 2 x e^{C} + e^{C})$

Étape 6

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \pm (x^{2} C + 2 x C + C)$