Calcul infinitésimal Exemples

$y (2 x - y) d x - (x^{2} + y^{2} + 1) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = y (2 x - y)$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (2 x - y)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = y$ et $g (y) = 2 x - y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [2 x - y] + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- y]) + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.2

Comme $2 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (0 + \frac{d}{d y} [- y]) + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [- y] + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- \frac{d}{d y} [y]) + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- 1 \cdot 1) + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \cdot - 1 + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.6.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1 \cdot y + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.6.3

Réécrivez $- 1 y$ comme $- y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - y + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - y + (2 x - y) \cdot 1$

Étape 1.3.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 1.3.8.1

Multipliez $2 x - y$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - y + 2 x - y$

Étape 1.3.8.2

Soustrayez $y$ de $- y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x - 2 y$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = - (x^{2} + y^{2} + 1)$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x^{2} + y^{2} + 1)]$

Étape 2.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- (x^{2} + y^{2} + 1)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + 1]$

Étape 2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + y^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.5

Comme $y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + 0 + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.6

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.7

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + 0)$

Étape 2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.8.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x)$

Étape 2.8.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2 x - 2 y$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- 2 x$ .

$2 x - 2 y = - 2 x$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$2 x - 2 y = - 2 x$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- 2 x$ .

$\frac{- 2 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2 x - 2 y$ .

$\frac{- 2 x - (2 x - 2 y)}{M}$

Étape 4.3

Remplacez $M$ par $y (2 x - y)$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $M$ par $y (2 x - y)$ .

$\frac{- 2 x - (2 x - 2 y)}{y (2 x - y)}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 2 x - (2 x) - (- 2 y)}{y (2 x - y)}$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- 2 x - 2 x - (- 2 y)}{y (2 x - y)}$

Étape 4.3.2.3

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{- 2 x - 2 x + 2 y}{y (2 x - y)}$

Étape 4.3.2.4

Soustrayez $2 x$ de $- 2 x$ .

$\frac{- 4 x + 2 y}{y (2 x - y)}$

Étape 4.3.2.5

Factorisez $2$ à partir de $- 4 x + 2 y$ .

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Étape 4.3.2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4 x$ .

$\frac{2 (- 2 x) + 2 y}{y (2 x - y)}$

Étape 4.3.2.5.2

Factorisez $2$ à partir de $2 y$ .

$\frac{2 (- 2 x) + 2 (y)}{y (2 x - y)}$

Étape 4.3.2.5.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 2 x) + 2 (y)$ .

$\frac{2 (- 2 x + y)}{y (2 x - y)}$

Étape 4.3.3

Annulez le facteur commun à $- 2 x + y$ et $2 x - y$ .

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Étape 4.3.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- (2 x) + y)}{y (2 x - y)}$

Étape 4.3.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $y$ .

$\frac{2 (- (2 x) - 1 (- y))}{y (2 x - y)}$

Étape 4.3.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x) - 1 (- y)$ .

$\frac{2 (- (2 x - y))}{y (2 x - y)}$

Étape 4.3.3.4

Réécrivez $- (2 x - y)$ comme $- 1 (2 x - y)$ .

$\frac{2 (- 1 (2 x - y))}{y (2 x - y)}$

Étape 4.3.3.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- 1 (2 x - y))}{y (2 x - y)}$

Étape 4.3.3.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \cdot (- 1)}{y}$

Étape 4.3.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- 2}{y}$

Étape 4.3.5

Remplacez $M$ par $y (2 x - y)$ .

$- \frac{2}{y}$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

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Étape 5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Étape 5.2

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Étape 5.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Étape 5.4

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Étape 5.5

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Étape 5.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.6.1

Simplifiez $- 2 \ln (| y |)$ en déplaçant $- 2$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Étape 5.6.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Étape 5.6.3

Retirez la valeur absolue dans ${| y |}^{- 2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Étape 5.6.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $y (2 x - y) d x - (x^{2} + y^{2} + 1) d y = 0$ par le facteur d’intégration $\frac{1}{y^{2}}$ .

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Étape 6.1

Multipliez $y (2 x - y)$ par $\frac{1}{y^{2}}$ .

$y (2 x - y) \frac{1}{y^{2}} d x - (x^{2} + y^{2} + 1) d y = 0$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2}$ .

$y (2 x - y) \frac{1}{y \cdot y} d x - (x^{2} + y^{2} + 1) d y = 0$

Étape 6.2.2

Annulez le facteur commun.

$y (2 x - y) \frac{1}{y \cdot y} d x - (x^{2} + y^{2} + 1) d y = 0$

Étape 6.2.3

Réécrivez l’expression.

$(2 x - y) \frac{1}{y} d x - (x^{2} + y^{2} + 1) d y = 0$

Étape 6.3

Multipliez $2 x - y$ par $\frac{1}{y}$ .

$\frac{2 x - y}{y} d x - (x^{2} + y^{2} + 1) d y = 0$

Étape 6.4

Multipliez $- (x^{2} + y^{2} + 1)$ par $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{2 x - y}{y} d x - (x^{2} + y^{2} + 1) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Étape 6.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x - y}{y} d x + (- x^{2} - y^{2} - 1 \cdot 1) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Étape 6.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 x - y}{y} d x + (- x^{2} - y^{2} - 1) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Étape 6.7

Multipliez $- x^{2} - y^{2} - 1$ par $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{2 x - y}{y} d x + \frac{- x^{2} - y^{2} - 1}{y^{2}} d y = 0$

Étape 6.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{2 x - y}{y} d x + \frac{- (x^{2}) - y^{2} - 1}{y^{2}} d y = 0$

Étape 6.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- y^{2}$ .

$\frac{2 x - y}{y} d x + \frac{- (x^{2}) - (y^{2}) - 1}{y^{2}} d y = 0$

Étape 6.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - (y^{2})$ .

$\frac{2 x - y}{y} d x + \frac{- (x^{2} + y^{2}) - 1}{y^{2}} d y = 0$

Étape 6.11

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{2 x - y}{y} d x + \frac{- (x^{2} + y^{2}) - 1 (1)}{y^{2}} d y = 0$

Étape 6.12

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} + y^{2}) - 1 (1)$ .

$\frac{2 x - y}{y} d x + \frac{- (x^{2} + y^{2} + 1)}{y^{2}} d y = 0$

Étape 6.13

Réécrivez $- (x^{2} + y^{2} + 1)$ comme $- 1 (x^{2} + y^{2} + 1)$ .

$\frac{2 x - y}{y} d x + \frac{- 1 (x^{2} + y^{2} + 1)}{y^{2}} d y = 0$

Étape 6.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2 x - y}{y} d x - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}} d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{2 x - y}{y} d x$

Étape 8

Intégrez $M (x, y) = \frac{2 x - y}{y}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$f (x, y) = \int \frac{2 x}{y} + \frac{- y}{y} d x$

Étape 8.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \int \frac{2 x}{y} d x + \int \frac{- y}{y} d x$

Étape 8.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 8.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (x, y) = \int \frac{2 x}{y} d x + \int \frac{- y}{y} d x$

Étape 8.3.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$f (x, y) = \int \frac{2 x}{y} d x + \int - 1 d x$

Étape 8.4

Comme $\frac{2}{y}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{2}{y}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = \frac{2}{y} \int x d x + \int - 1 d x$

Étape 8.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{y} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 1 d x$

Étape 8.6

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = \frac{2}{y} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - x + C$

Étape 8.7

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{y} (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C$

Étape 8.8

Simplifiez

$f (x, y) = \frac{2 x^{2}}{y \cdot 2} - x + C$

Étape 8.9

Simplifiez

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Étape 8.9.1

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$f (x, y) = \frac{2 x^{2}}{2 \cdot y} - x + C$

Étape 8.9.2

Multipliez $2$ par $y$ .

$f (x, y) = \frac{2 x^{2}}{2 y} - x + C$

Étape 8.9.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.9.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (x, y) = \frac{2 x^{2}}{2 y} - x + C$

Étape 8.9.3.2

Réécrivez l’expression.

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{y} - x + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{y} - x + g (y)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{y} - x + g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{x^{2}}{y} - x + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{y}] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{y}] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{y}]$ .

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Étape 11.3.1

Comme $x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{x^{2}}{y}$ par rapport à $y$ est $x^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

Étape 11.3.2

Réécrivez $\frac{1}{y}$ comme $y^{- 1}$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

Étape 11.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$x^{2} (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

Étape 11.4

Comme $- x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$x^{2} (- y^{- 2}) + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

Étape 11.5

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{2} (- y^{- 2}) + 0 + \frac{d g}{d y} = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

Étape 11.6

Simplifiez

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Étape 11.6.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + 0 + \frac{d g}{d y} = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

Étape 11.6.2

Associez des termes.

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Étape 11.6.2.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- \frac{x^{2}}{y^{2}} + 0 + \frac{d g}{d y} = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

Étape 11.6.2.2

Additionnez $- \frac{x^{2}}{y^{2}}$ et $0$ .

$- \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

Étape 11.6.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x^{2}}{y^{2}} = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 12.1

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 12.1.1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 12.1.1.1

Ajoutez $\frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} + x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.3

Additionnez $- x^{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 + y^{2} + 1}{y^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.4

Additionnez $0$ et $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} + 1}{y^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.5

Pour écrire $\frac{d g}{d y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{\frac{d g}{d y} y^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2} + 1}{y^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{d g}{d y} y^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}} = 0$

Étape 12.1.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$\frac{d g}{d y} y^{2} + y^{2} + 1 = 0$

Étape 12.1.3

Résolvez l’équation pour $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 12.1.3.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d y}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 12.1.3.1.1

Soustrayez $y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} y^{2} + 1 = - y^{2}$

Étape 12.1.3.1.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} y^{2} = - y^{2} - 1$

Étape 12.1.3.2

Divisez chaque terme dans $\frac{d g}{d y} y^{2} = - y^{2} - 1$ par $y^{2}$ et simplifiez.

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Étape 12.1.3.2.1

Divisez chaque terme dans $\frac{d g}{d y} y^{2} = - y^{2} - 1$ par $y^{2}$ .

$\frac{\frac{d g}{d y} y^{2}}{y^{2}} = \frac{- y^{2}}{y^{2}} + \frac{- 1}{y^{2}}$

Étape 12.1.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 12.1.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 12.1.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d g}{d y} y^{2}}{y^{2}} = \frac{- y^{2}}{y^{2}} + \frac{- 1}{y^{2}}$

Étape 12.1.3.2.2.1.2

Divisez $\frac{d g}{d y}$ par $1$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{- y^{2}}{y^{2}} + \frac{- 1}{y^{2}}$

Étape 12.1.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 12.1.3.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.3.2.3.1.1

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 12.1.3.2.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d g}{d y} = \frac{- y^{2}}{y^{2}} + \frac{- 1}{y^{2}}$

Étape 12.1.3.2.3.1.1.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\frac{d g}{d y} = - 1 + \frac{- 1}{y^{2}}$

Étape 12.1.3.2.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d g}{d y} = - 1 - \frac{1}{y^{2}}$

Étape 13

Déterminez la primitive de $- 1 - \frac{1}{y^{2}}$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = - 1 - \frac{1}{y^{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 1 - \frac{1}{y^{2}} d y$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 1 - \frac{1}{y^{2}} d y$

Étape 13.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$g (y) = \int - 1 d y + \int - \frac{1}{y^{2}} d y$

Étape 13.4

Appliquez la règle de la constante.

$g (y) = - y + C + \int - \frac{1}{y^{2}} d y$

Étape 13.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = - y + C - \int \frac{1}{y^{2}} d y$

Étape 13.6

Retirez $y^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$g (y) = - y + C - \int {(y^{2})}^{- 1} d y$

Étape 13.7

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 13.7.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (y) = - y + C - \int y^{2 \cdot - 1} d y$

Étape 13.7.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$g (y) = - y + C - \int y^{- 2} d y$

Étape 13.8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{- 2}$ par rapport à $y$ est $- y^{- 1}$ .

$g (y) = - y + C - (- y^{- 1} + C)$

Étape 13.9

Simplifiez

$g (y) = - y - - \frac{1}{y} + C$

Étape 13.10

Simplifiez

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Étape 13.10.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$g (y) = - y + 1 \frac{1}{y} + C$

Étape 13.10.2

Multipliez $\frac{1}{y}$ par $1$ .

$g (y) = - y + \frac{1}{y} + C$

Étape 14

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = \frac{x^{2}}{y} - x + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{y} - x - y + \frac{1}{y} + C$