Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 7 \cdot \frac{1}{e^{y}} \cdot \cos (x)$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $e^{y}$ .

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} (7 \cdot \frac{1}{e^{y}} \cdot \cos (x))$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = 7 e^{y} (\frac{1}{e^{y}} \cos (x))$

Étape 1.2.2

Associez $\frac{1}{e^{y}}$ et $\cos (x)$ .

$e^{y} \frac{d y}{d x} = 7 e^{y} \frac{\cos (x)}{e^{y}}$

Étape 1.2.3

Annulez le facteur commun de $e^{y}$ .

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Étape 1.2.3.1

Factorisez $e^{y}$ à partir de $7 e^{y}$ .

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \cdot 7 \frac{\cos (x)}{e^{y}}$

Étape 1.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \cdot 7 \frac{\cos (x)}{e^{y}}$

Étape 1.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = 7 \cos (x)$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$e^{y} d y = 7 \cos (x) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int e^{y} d y = \int 7 \cos (x) d x$

Étape 2.2

L’intégrale de $e^{y}$ par rapport à $y$ est $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int 7 \cos (x) d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , placez $7$ en dehors de l’intégrale.

$e^{y} + C_{1} = 7 \int \cos (x) d x$

Étape 2.3.2

L’intégrale de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $\sin (x)$ .

$e^{y} + C_{1} = 7 (\sin (x) + C_{2})$

Étape 2.3.3

Simplifiez

$e^{y} + C_{1} = 7 \sin (x) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$e^{y} = 7 \sin (x) + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{y}) = \ln (7 \sin (x) + K)$

Étape 3.2

Développez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Développez $\ln (e^{y})$ en déplaçant $y$ hors du logarithme.

$y \ln (e) = \ln (7 \sin (x) + K)$

Étape 3.2.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (7 \sin (x) + K)$

Étape 3.2.3

Multipliez $y$ par $1$ .

$y = \ln (7 \sin (x) + K)$