Calcul infinitésimal Exemples

$x \sqrt{y^{2} - 2} d x + y \sqrt{x^{2} - 2} d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $x \sqrt{y^{2} - 2} d x$ des deux côtés de l’équation.

$y \sqrt{x^{2} - 2} d y = - x \sqrt{y^{2} - 2} d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (y \sqrt{x^{2} - 2}) d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}$ par $\frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} \cdot \frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (y \sqrt{x^{2} - 2}) d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Étape 3.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.2.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}$ par $\frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}$ .

$\frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} \sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (y \sqrt{x^{2} - 2}) d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Étape 3.2.2

Élevez $\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}^{1} \sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (y \sqrt{x^{2} - 2}) d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Étape 3.2.3

Élevez $\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}^{1} {\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}^{1}} (y \sqrt{x^{2} - 2}) d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Étape 3.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}^{1 + 1}} (y \sqrt{x^{2} - 2}) d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Étape 3.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}^{2}} (y \sqrt{x^{2} - 2}) d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Étape 3.2.6

Réécrivez ${\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}^{2}$ comme $(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)$ .

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Étape 3.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}$ comme ${((x^{2} - 2) (y^{2} - 2))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{{({((x^{2} - 2) (y^{2} - 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (y \sqrt{x^{2} - 2}) d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Étape 3.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{{((x^{2} - 2) (y^{2} - 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (y \sqrt{x^{2} - 2}) d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Étape 3.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{{((x^{2} - 2) (y^{2} - 2))}^{\frac{2}{2}}} (y \sqrt{x^{2} - 2}) d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Étape 3.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{{((x^{2} - 2) (y^{2} - 2))}^{\frac{2}{2}}} (y \sqrt{x^{2} - 2}) d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Étape 3.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{{((x^{2} - 2) (y^{2} - 2))}^{1}} (y \sqrt{x^{2} - 2}) d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Étape 3.2.6.5

Simplifiez

$\frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} (y \sqrt{x^{2} - 2}) d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Étape 3.3

Multipliez $\frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} (y \sqrt{x^{2} - 2})$ .

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Étape 3.3.1

Associez $y$ et $\frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}$ .

$\frac{y \sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} \sqrt{x^{2} - 2} d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Étape 3.3.2

Associez $\frac{y \sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}$ et $\sqrt{x^{2} - 2}$ .

$\frac{y \sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} \sqrt{x^{2} - 2}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Étape 3.3.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{y \sqrt{(x^{2} - 2) ((x^{2} - 2) (y^{2} - 2))}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Étape 3.3.4

Élevez $x^{2} - 2$ à la puissance $1$ .

$\frac{y \sqrt{{(x^{2} - 2)}^{1} (x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Étape 3.3.5

Élevez $x^{2} - 2$ à la puissance $1$ .

$\frac{y \sqrt{{(x^{2} - 2)}^{1} {(x^{2} - 2)}^{1} (y^{2} - 2)}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Étape 3.3.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{y \sqrt{{(x^{2} - 2)}^{1 + 1} (y^{2} - 2)}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Étape 3.3.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{y \sqrt{{(x^{2} - 2)}^{2} (y^{2} - 2)}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Étape 3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{y ((x^{2} - 2) \sqrt{y^{2} - 2})}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Étape 3.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y (x^{2} \sqrt{y^{2} - 2} - 2 \sqrt{y^{2} - 2})}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Étape 3.4.3

Factorisez $\sqrt{y^{2} - 2}$ à partir de $x^{2} \sqrt{y^{2} - 2} - 2 \sqrt{y^{2} - 2}$ .

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Étape 3.4.3.1

Factorisez $\sqrt{y^{2} - 2}$ à partir de $x^{2} \sqrt{y^{2} - 2}$ .

$\frac{y (\sqrt{y^{2} - 2} x^{2} - 2 \sqrt{y^{2} - 2})}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Étape 3.4.3.2

Factorisez $\sqrt{y^{2} - 2}$ à partir de $- 2 \sqrt{y^{2} - 2}$ .

$\frac{y (\sqrt{y^{2} - 2} x^{2} + \sqrt{y^{2} - 2} \cdot - 2)}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Étape 3.4.3.3

Factorisez $\sqrt{y^{2} - 2}$ à partir de $\sqrt{y^{2} - 2} x^{2} + \sqrt{y^{2} - 2} \cdot - 2$ .

$\frac{y (\sqrt{y^{2} - 2} (x^{2} - 2))}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2} (x^{2} - 2)}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Étape 3.5

Annulez le facteur commun de $x^{2} - 2$ .

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Étape 3.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2} (x^{2} - 2)}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Étape 3.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Étape 3.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Étape 3.7

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}$ par $\frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}$ .

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - (\frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} \cdot \frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}) (x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Étape 3.8

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.8.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}$ par $\frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}$ .

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} \sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Étape 3.8.2

Élevez $\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}$ à la puissance $1$ .

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}^{1} \sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Étape 3.8.3

Élevez $\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}$ à la puissance $1$ .

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}^{1} {\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}^{1}} (x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Étape 3.8.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}^{1 + 1}} (x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Étape 3.8.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}^{2}} (x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Étape 3.8.6

Réécrivez ${\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}^{2}$ comme $(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)$ .

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Étape 3.8.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}$ comme ${((x^{2} - 2) (y^{2} - 2))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{{({((x^{2} - 2) (y^{2} - 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Étape 3.8.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{{((x^{2} - 2) (y^{2} - 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Étape 3.8.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{{((x^{2} - 2) (y^{2} - 2))}^{\frac{2}{2}}} (x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Étape 3.8.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.8.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{{((x^{2} - 2) (y^{2} - 2))}^{\frac{2}{2}}} (x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Étape 3.8.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{{((x^{2} - 2) (y^{2} - 2))}^{1}} (x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Étape 3.8.6.5

Simplifiez

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} (x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Étape 3.9

Multipliez $- \frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} (x \sqrt{y^{2} - 2})$ .

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Étape 3.9.1

Associez $x$ et $\frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}$ .

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{x \sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} \sqrt{y^{2} - 2} d x$

Étape 3.9.2

Associez $\sqrt{y^{2} - 2}$ et $\frac{x \sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}$ .

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{\sqrt{y^{2} - 2} (x \sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)})}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d x$

Étape 3.9.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{x \sqrt{(y^{2} - 2) ((x^{2} - 2) (y^{2} - 2))}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d x$

Étape 3.9.4

Élevez $y^{2} - 2$ à la puissance $1$ .

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{x \sqrt{{(y^{2} - 2)}^{1} (y^{2} - 2) (x^{2} - 2)}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d x$

Étape 3.9.5

Élevez $y^{2} - 2$ à la puissance $1$ .

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{x \sqrt{{(y^{2} - 2)}^{1} {(y^{2} - 2)}^{1} (x^{2} - 2)}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d x$

Étape 3.9.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{x \sqrt{{(y^{2} - 2)}^{1 + 1} (x^{2} - 2)}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d x$

Étape 3.9.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{x \sqrt{{(y^{2} - 2)}^{2} (x^{2} - 2)}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d x$

Étape 3.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.10.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{x ((y^{2} - 2) \sqrt{x^{2} - 2})}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d x$

Étape 3.10.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{x (y^{2} \sqrt{x^{2} - 2} - 2 \sqrt{x^{2} - 2})}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d x$

Étape 3.10.3

Factorisez $\sqrt{x^{2} - 2}$ à partir de $y^{2} \sqrt{x^{2} - 2} - 2 \sqrt{x^{2} - 2}$ .

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Étape 3.10.3.1

Factorisez $\sqrt{x^{2} - 2}$ à partir de $y^{2} \sqrt{x^{2} - 2}$ .

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{x (\sqrt{x^{2} - 2} y^{2} - 2 \sqrt{x^{2} - 2})}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d x$

Étape 3.10.3.2

Factorisez $\sqrt{x^{2} - 2}$ à partir de $- 2 \sqrt{x^{2} - 2}$ .

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{x (\sqrt{x^{2} - 2} y^{2} + \sqrt{x^{2} - 2} \cdot - 2)}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d x$

Étape 3.10.3.3

Factorisez $\sqrt{x^{2} - 2}$ à partir de $\sqrt{x^{2} - 2} y^{2} + \sqrt{x^{2} - 2} \cdot - 2$ .

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{x (\sqrt{x^{2} - 2} (y^{2} - 2))}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d x$

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2} (y^{2} - 2)}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d x$

Étape 3.11

Annulez le facteur commun de $y^{2} - 2$ .

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Étape 3.11.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2} (y^{2} - 2)}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d x$

Étape 3.11.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

Étape 4.2

Intégrez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Laissez $u_{1} = y^{2} - 2$ . Alors $d u_{1} = 2 y d y$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

Laissez $u_{1} = y^{2} - 2$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1.1

Différenciez $y^{2} - 2$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} - 2]$

Étape 4.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{2} - 2$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2]$

Étape 4.2.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [- 2]$

Étape 4.2.1.1.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $y$ est $0$ .

$2 y + 0$

Étape 4.2.1.1.5

Additionnez $2 y$ et $0$ .

$2 y$

Étape 4.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \frac{\sqrt{u_{1}}}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

Étape 4.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{u_{1}}}{u_{1}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{u_{1}}}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

Étape 4.2.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $u_{1}$ .

$\int \frac{\sqrt{u_{1}}}{2 u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

Étape 4.2.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u_{1}}}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

Étape 4.2.4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u_{1}}$ comme ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

Étape 4.2.4.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.4.2.1

Placez ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1} \cdot {u_{1}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

Étape 4.2.4.2.2

Multipliez $u_{1}$ par ${u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.4.2.2.1

Multipliez $u_{1}$ par ${u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 4.2.4.2.2.1.1

Élevez $u_{1}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{1} {u_{1}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

Étape 4.2.4.2.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{1 - \frac{1}{2}}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

Étape 4.2.4.2.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

Étape 4.2.4.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{2 - 1}{2}}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

Étape 4.2.4.2.2.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

Étape 4.2.4.3

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.2.4.3.1

Retirez ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

Étape 4.2.4.3.2

Multipliez les exposants dans ${({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 4.2.4.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

Étape 4.2.4.3.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

Étape 4.2.4.3.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{- \frac{1}{2}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

Étape 4.2.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u_{1}$ est $2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1}) = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

Étape 4.2.6

Simplifiez

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Étape 4.2.6.1

Réécrivez $\frac{1}{2} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1})$ comme $\frac{1}{2} \cdot 2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1}$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

Étape 4.2.6.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.6.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

Étape 4.2.6.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.6.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

Étape 4.2.6.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

Étape 4.2.6.2.3

Multipliez ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

${u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

Étape 4.2.7

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y^{2} - 2$ .

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \int \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

Étape 4.3.2

Laissez $u_{2} = x^{2} - 2$ . Alors $d u_{2} = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1

Laissez $u_{2} = x^{2} - 2$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1.1

Différenciez $x^{2} - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 2]$

Étape 4.3.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 4.3.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 4.3.2.1.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 4.3.2.1.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 4.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 4.3.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Étape 4.3.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $u_{2}$ .

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{2 u_{2}} d u_{2}$

Étape 4.3.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} d u_{2})$

Étape 4.3.5

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u_{2}}$ comme ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 4.3.5.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.5.2.1

Placez ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Étape 4.3.5.2.2

Multipliez $u_{2}$ par ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.5.2.2.1

Multipliez $u_{2}$ par ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.5.2.2.1.1

Élevez $u_{2}$ à la puissance $1$ .

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{1} {u_{2}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Étape 4.3.5.2.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{1 - \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Étape 4.3.5.2.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Étape 4.3.5.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{2 - 1}{2}}} d u_{2}$

Étape 4.3.5.2.2.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Étape 4.3.5.3

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.5.3.1

Retirez ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{2}$

Étape 4.3.5.3.2

Multipliez les exposants dans ${({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 4.3.5.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{2}$

Étape 4.3.5.3.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{2}$

Étape 4.3.5.3.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Étape 4.3.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Étape 4.3.7

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.7.1

Réécrivez $- \frac{1}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ comme $- \frac{1}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 4.3.7.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.7.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 4.3.7.2.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2}$ .

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{- 2}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 4.3.7.2.3

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.7.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 4.3.7.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.7.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 4.3.7.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 4.3.7.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{- 1}{1} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 4.3.7.2.3.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 4.3.8

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{2} - 2$ .

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} = - {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + K$