Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d t} = \frac{t \cdot e^{t}}{y \sqrt{1 + y^{2}}}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $y \sqrt{1 + y^{2}}$ .

$y \sqrt{1 + y^{2}} \frac{d y}{d t} = y \sqrt{1 + y^{2}} \frac{t \cdot e^{t}}{y \sqrt{1 + y^{2}}}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $y \sqrt{1 + y^{2}}$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y \sqrt{1 + y^{2}} \frac{d y}{d t} = y \sqrt{1 + y^{2}} \frac{t \cdot e^{t}}{y \sqrt{1 + y^{2}}}$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y \sqrt{1 + y^{2}} \frac{d y}{d t} = t \cdot e^{t}$

$y \sqrt{1 + y^{2}} \frac{d y}{d t} = t e^{t}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$y \sqrt{1 + y^{2}} d y = t e^{t} d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y \sqrt{1 + y^{2}} d y = \int t e^{t} d t$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u = 1 + y^{2}$ . Alors $d u = 2 y d y$ , donc $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u = 1 + y^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $1 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

Étape 2.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 2.2.1.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 2.2.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 2 y$

Étape 2.2.1.1.5

Additionnez $0$ et $2 y$ .

$2 y$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \sqrt{u} \frac{1}{2} d u = \int t e^{t} d t$

Étape 2.2.2

Associez $\sqrt{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{2} d u = \int t e^{t} d t$

Étape 2.2.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u = \int t e^{t} d t$

Étape 2.2.4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u = \int t e^{t} d t$

Étape 2.2.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1}) = \int t e^{t} d t$

Étape 2.2.6

Simplifiez

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Étape 2.2.6.1

Réécrivez $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1})$ comme $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

Étape 2.2.6.2

Simplifiez

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Étape 2.2.6.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

Étape 2.2.6.2.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{2}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

Étape 2.2.6.2.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $6$ .

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Étape 2.2.6.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (1)}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

Étape 2.2.6.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.6.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

Étape 2.2.6.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

Étape 2.2.6.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

Étape 2.2.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + y^{2}$ .

$\frac{1}{3} {(1 + y^{2})}^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = t$ et $d v = e^{t}$ .

$\frac{1}{3} {(1 + y^{2})}^{\frac{3}{2}} + C_{1} = t e^{t} - \int e^{t} d t$

Étape 2.3.2

L’intégrale de $e^{t}$ par rapport à $t$ est $e^{t}$ .

$\frac{1}{3} {(1 + y^{2})}^{\frac{3}{2}} + C_{1} = t e^{t} - (e^{t} + C_{2})$

Étape 2.3.3

Simplifiez

$\frac{1}{3} {(1 + y^{2})}^{\frac{3}{2}} + C_{1} = t e^{t} - e^{t} + C_{2}$

Étape 2.3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{3} {(1 + y^{2})}^{\frac{3}{2}} + C_{1} = e^{t} t - e^{t} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{3} {(1 + y^{2})}^{\frac{3}{2}} = e^{t} t - e^{t} + K$