Calcul infinitésimal Exemples

$(1 + \sin (y)) d x + (x \cos (y) - 2 y) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 1 + \sin (y)$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1 + \sin (y)]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \sin (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\sin (y)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\sin (y)]$

Étape 1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [\sin (y)]$

Étape 1.3

La dérivée de $\sin (y)$ par rapport à $y$ est $\cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \cos (y)$

Étape 1.4

Additionnez $0$ et $\cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y)$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = x \cos (y) - 2 y$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \cos (y) - 2 y]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x \cos (y) - 2 y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x \cos (y)] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \cos (y)] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x \cos (y)]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $\cos (y)$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x \cos (y)$ par rapport à $x$ est $\cos (y) \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Étape 2.3.3

Multipliez $\cos (y)$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $- 2 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $\cos (y)$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y)$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $\cos (y)$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $\cos (y)$ .

$\cos (y) = \cos (y)$

Étape 3.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\cos (y) = \cos (y)$ est une identité.

Étape 4

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 1 + \sin (y) d x$

Étape 5

Intégrez $M (x, y) = 1 + \sin (y)$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 5.1

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = (1 + \sin (y)) x + C$

Étape 6

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = (1 + \sin (y)) x + g (y)$

Étape 7

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x \cos (y) - 2 y$

Étape 8

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 8.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [(1 + \sin (y)) x + g (y)] = x \cos (y) - 2 y$

Étape 8.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $(1 + \sin (y)) x + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [(1 + \sin (y)) x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [(1 + \sin (y)) x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x \cos (y) - 2 y$

Étape 8.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [(1 + \sin (y)) x]$ .

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Étape 8.3.1

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $(1 + \sin (y)) x$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [1 + \sin (y)]$ .

$x \frac{d}{d y} [1 + \sin (y)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x \cos (y) - 2 y$

Étape 8.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \sin (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\sin (y)]$ .

$x (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\sin (y)]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x \cos (y) - 2 y$

Étape 8.3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$x (0 + \frac{d}{d y} [\sin (y)]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x \cos (y) - 2 y$

Étape 8.3.4

La dérivée de $\sin (y)$ par rapport à $y$ est $\cos (y)$ .

$x (0 + \cos (y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x \cos (y) - 2 y$

Étape 8.3.5

Additionnez $0$ et $\cos (y)$ .

$x \cos (y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x \cos (y) - 2 y$

Étape 8.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$x \cos (y) + \frac{d g}{d y} = x \cos (y) - 2 y$

Étape 8.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} + x \cos (y) = x \cos (y) - 2 y$

Étape 9

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 9.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d y}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.1.1

Soustrayez $x \cos (y)$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = x \cos (y) - 2 y - x \cos (y)$

Étape 9.1.2

Associez les termes opposés dans $x \cos (y) - 2 y - x \cos (y)$ .

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Étape 9.1.2.1

Soustrayez $x \cos (y)$ de $x \cos (y)$ .

$\frac{d g}{d y} = - 2 y + 0$

Étape 9.1.2.2

Additionnez $- 2 y$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 2 y$

Étape 10

Déterminez la primitive de $- 2 y$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 10.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = - 2 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 2 y d y$

Étape 10.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 2 y d y$

Étape 10.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = - 2 \int y d y$

Étape 10.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = - 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Étape 10.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.5.1

Réécrivez $- 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ comme $- 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ .

$g (y) = - 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Étape 10.5.2

Simplifiez

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Étape 10.5.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{- 2}{2} y^{2} + C$

Étape 10.5.2.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 10.5.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2} y^{2} + C$

Étape 10.5.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.5.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} y^{2} + C$

Étape 10.5.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

Étape 10.5.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$g (y) = \frac{- 1}{1} y^{2} + C$

Étape 10.5.2.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$g (y) = - y^{2} + C$

Étape 11

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = (1 + \sin (y)) x + g (y)$ .

$f (x, y) = (1 + \sin (y)) x - y^{2} + C$

Étape 12

Simplifiez $f (x, y) = (1 + \sin (y)) x - y^{2} + C$ .

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Étape 12.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x, y) = 1 x + \sin (y) x - y^{2} + C$

Étape 12.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (x, y) = x + \sin (y) x - y^{2} + C$

Étape 12.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $f (x, y) = x + \sin (y) x - y^{2} + C$ .

$f (x, y) = x + x \sin (y) - y^{2} + C$