Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \csc (x) (\csc (x) - \cot (x))$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = \csc (x) (\csc (x) - \cot (x)) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int \csc (x) (\csc (x) - \cot (x)) d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int \csc (x) (\csc (x) - \cot (x)) d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y + C_{1} = \int \csc (x) \csc (x) + \csc (x) (- \cot (x)) d x$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $\csc (x) \csc (x)$ .

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Étape 2.3.1.2.1

Élevez $\csc (x)$ à la puissance $1$ .

$y + C_{1} = \int \csc^{1} (x) \csc (x) + \csc (x) (- \cot (x)) d x$

Étape 2.3.1.2.2

Élevez $\csc (x)$ à la puissance $1$ .

$y + C_{1} = \int \csc^{1} (x) \csc^{1} (x) + \csc (x) (- \cot (x)) d x$

Étape 2.3.1.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y + C_{1} = \int {\csc (x)}^{1 + 1} + \csc (x) (- \cot (x)) d x$

Étape 2.3.1.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$y + C_{1} = \int \csc^{2} (x) + \csc (x) (- \cot (x)) d x$

Étape 2.3.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y + C_{1} = \int \csc^{2} (x) - \csc (x) \cot (x) d x$

Étape 2.3.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int \csc^{2} (x) d x + \int - \csc (x) \cot (x) d x$

Étape 2.3.3

Comme la dérivée de $- \cot (x)$ est $\csc^{2} (x)$ , l’intégrale de $\csc^{2} (x)$ est $- \cot (x)$ .

$y + C_{1} = - \cot (x) + C_{2} + \int - \csc (x) \cot (x) d x$

Étape 2.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = - \cot (x) + C_{2} - \int \csc (x) \cot (x) d x$

Étape 2.3.5

Comme la dérivée de $- \csc (x)$ est $\csc (x) \cot (x)$ , l’intégrale de $\csc (x) \cot (x)$ est $- \csc (x)$ .

$y + C_{1} = - \cot (x) + C_{2} - (- \csc (x) + C_{3})$

Étape 2.3.6

Simplifiez

$y + C_{1} = - \cot (x) + \csc (x) + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = - \cot (x) + \csc (x) + K$