Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{2}}{y^{2} - 2} \cdot \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Résolvez $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Associez $\frac{x^{2}}{y^{2} - 2}$ et $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{y^{2} - 2} = \frac{1}{2 y}$

Étape 1.1.2

Multipliez le numérateur de la première fraction par le dénominateur de la deuxième fraction. Définissez une valeur égale au produit du dénominateur de la première fraction et du numérateur de la deuxième fraction.

$x^{2} \frac{d y}{d x} (2 y) = (y^{2} - 2) \cdot 1$

Étape 1.1.3

Résolvez l’équation pour $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.3.1

Simplifiez

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Étape 1.1.3.1.1

Supprimez les parenthèses.

$x^{2} \frac{d y}{d x} \cdot 2 y = (y^{2} - 2) \cdot 1$

Étape 1.1.3.1.2

Multipliez $y^{2} - 2$ par $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} \cdot 2 y = y^{2} - 2$

Étape 1.1.3.2

Divisez chaque terme dans $x^{2} \frac{d y}{d x} \cdot (2 y) = y^{2} - 2$ par $x^{2} \cdot 2 y$ et simplifiez.

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Étape 1.1.3.2.1

Divisez chaque terme dans $x^{2} \frac{d y}{d x} \cdot (2 y) = y^{2} - 2$ par $x^{2} \cdot 2 y$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} \cdot (2 y)}{x^{2} \cdot 2 y} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

Étape 1.1.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 1.1.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} \cdot (2 y)}{x^{2} \cdot 2 y} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

Étape 1.1.3.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{d y}{d x} \cdot (2 y)}{2 y} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

Étape 1.1.3.2.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.1.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x} \cdot (2 y)}{2 y} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

Étape 1.1.3.2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{d y}{d x} \cdot y}{y} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

Étape 1.1.3.2.2.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.1.3.2.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x} \cdot y}{y} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

Étape 1.1.3.2.2.3.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

Étape 1.1.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.3.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.2.3.1.1

Annulez le facteur commun à $y^{2}$ et $y$ .

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Étape 1.1.3.2.3.1.1.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

Étape 1.1.3.2.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.3.2.3.1.1.2.1

Factorisez $y$ à partir de $x^{2} \cdot 2 y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (x^{2} \cdot 2)} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

Étape 1.1.3.2.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (x^{2} \cdot 2)} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

Étape 1.1.3.2.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2} \cdot 2} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

Étape 1.1.3.2.3.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 \cdot x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

Étape 1.1.3.2.3.1.3

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 1.1.3.2.3.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} + \frac{2 \cdot - 1}{x^{2} \cdot 2 y}$

Étape 1.1.3.2.3.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.3.2.3.1.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $x^{2} \cdot 2 y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{2} y)}$

Étape 1.1.3.2.3.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{2} y)}$

Étape 1.1.3.2.3.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} + \frac{- 1}{x^{2} y}$

Étape 1.1.3.2.3.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} - \frac{1}{x^{2} y}$

Étape 1.2

Factorisez.

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Étape 1.2.1

Pour écrire $\frac{y}{2 x^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} \cdot \frac{y}{y} - \frac{1}{x^{2} y}$

Étape 1.2.2

Pour écrire $- \frac{1}{x^{2} y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} \cdot \frac{y}{y} - \frac{1}{x^{2} y} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 1.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $2 y x^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.2.3.1

Multipliez $\frac{y}{2 x^{2}}$ par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{2 x^{2} y} - \frac{1}{x^{2} y} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 1.2.3.2

Multipliez $\frac{1}{x^{2} y}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{2 x^{2} y} - \frac{2}{x^{2} y \cdot 2}$

Étape 1.2.3.3

Réorganisez les facteurs de $x^{2} y \cdot 2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{2 x^{2} y} - \frac{2}{2 x^{2} y}$

Étape 1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y - 2}{2 x^{2} y}$

Étape 1.2.5

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - 2}{2 x^{2} y}$

Étape 1.3

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - 2}{2 y} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.4

Multipliez les deux côtés par $\frac{2 y}{y^{2} - 2}$ .

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{y^{2} - 2} (\frac{y^{2} - 2}{2 y} \cdot \frac{1}{x^{2}})$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Multipliez $\frac{y^{2} - 2}{2 y}$ par $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{y^{2} - 2} \cdot \frac{y^{2} - 2}{2 y x^{2}}$

Étape 1.5.2

Annulez le facteur commun de $2 y$ .

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Étape 1.5.2.1

Factorisez $2 y$ à partir de $2 y x^{2}$ .

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{y^{2} - 2} \cdot \frac{y^{2} - 2}{2 y (x^{2})}$

Étape 1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{y^{2} - 2} \cdot \frac{y^{2} - 2}{2 y x^{2}}$

Étape 1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} - 2} \cdot \frac{y^{2} - 2}{x^{2}}$

Étape 1.5.3

Annulez le facteur commun de $y^{2} - 2$ .

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Étape 1.5.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} - 2} \cdot \frac{y^{2} - 2}{x^{2}}$

Étape 1.5.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.6

Réécrivez l’équation.

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} d y = \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{2 y}{y^{2} - 2} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int \frac{y}{y^{2} - 2} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.2

Laissez $u = y^{2} - 2$ . Alors $d u = 2 y d y$ , donc $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.2.1

Laissez $u = y^{2} - 2$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Différenciez $y^{2} - 2$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} - 2]$

Étape 2.2.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{2} - 2$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2]$

Étape 2.2.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [- 2]$

Étape 2.2.2.1.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $y$ est $0$ .

$2 y + 0$

Étape 2.2.2.1.5

Additionnez $2 y$ et $0$ .

$2 y$

Étape 2.2.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.3

Simplifiez

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Étape 2.2.3.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$2 \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.5

Simplifiez

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Étape 2.2.5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.5.3

Multipliez $\int \frac{1}{u} d u$ par $1$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.6

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y^{2} - 2$ .

$\ln (| y^{2} - 2 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.3.1.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\ln (| y^{2} - 2 |) + C_{1} = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 2.3.1.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y^{2} - 2 |) + C_{1} = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 2.3.1.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\ln (| y^{2} - 2 |) + C_{1} = \int x^{- 2} d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$\ln (| y^{2} - 2 |) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2}$

Étape 2.3.3

Réécrivez $- x^{- 1} + C_{2}$ comme $- \frac{1}{x} + C_{2}$ .

$\ln (| y^{2} - 2 |) + C_{1} = - \frac{1}{x} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y^{2} - 2 |) = - \frac{1}{x} + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| y^{2} - 2 |)} = e^{- \frac{1}{x} + C}$

Étape 3.2

Réécrivez $\ln (| y^{2} - 2 |) = - \frac{1}{x} + C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{x} + C} = | y^{2} - 2 |$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $| y^{2} - 2 | = e^{- \frac{1}{x} + C}$ .

$| y^{2} - 2 | = e^{- \frac{1}{x} + C}$

Étape 3.3.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y^{2} - 2 = \pm e^{- \frac{1}{x} + C}$

Étape 3.3.3

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$y^{2} = \pm e^{- \frac{1}{x} + C} + 2$

Étape 3.3.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{- \frac{1}{x} + C} + 2}$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Réécrivez $e^{- \frac{1}{x} + C}$ comme $e^{- \frac{1}{x}} e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt{\pm e^{- \frac{1}{x}} e^{C} + 2}$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre $e^{- \frac{1}{x}}$ et $e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt{\pm e^{C} e^{- \frac{1}{x}} + 2}$

Étape 4.3

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = \pm \sqrt{C e^{- \frac{1}{x}} + 2}$