Calcul infinitésimal Exemples

$(2 + y x^{- 2}) d x + (y - x^{- 1}) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 2 + y x^{- 2}$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 + y x^{- 2}]$

Étape 1.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 + y \frac{1}{x^{2}}]$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 + y \frac{1}{x^{2}}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y \frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y \frac{1}{x^{2}}]$

Étape 1.3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y \frac{1}{x^{2}}]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d y} [y \frac{1}{x^{2}}]$ .

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Étape 1.4.1

Associez $y$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x^{2}}]$

Étape 1.4.2

Comme $\frac{1}{x^{2}}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{y}{x^{2}}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{1}{x^{2}} \cdot 1$

Étape 1.4.4

Multipliez $\frac{1}{x^{2}}$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.5

Additionnez $0$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x^{2}}$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = y - x^{- 1}$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y - x^{- 1}]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y - x^{- 1}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Étape 2.2.2

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{- 1}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - - x^{- 2}$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 1 x^{- 2}$

Étape 2.3.4

Multipliez $x^{- 2}$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x^{- 2}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Additionnez $0$ et $x^{- 2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{- 2}$

Étape 2.4.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{x^{2}}$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $\frac{1}{x^{2}}$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$

Étape 3.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{1}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$ est une identité.

Étape 4

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y - x^{- 1} d y$

Étape 5

Intégrez $N (x, y) = y - x^{- 1}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 5.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \int y d y + \int - x^{- 1} d y$

Étape 5.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C + \int - x^{- 1} d y$

Étape 5.3

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C - x^{- 1} y + C$

Étape 5.4

Simplifiez

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x^{- 1} y + C$

Étape 6

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x^{- 1} y + g (x)$

Étape 7

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 + y x^{- 2}$

Étape 8

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 8.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2} - x^{- 1} y + g (x)] = 2 + y x^{- 2}$

Étape 8.2

Différenciez.

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Étape 8.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{2} y^{2} - x^{- 1} y + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 + y x^{- 2}$

Étape 8.2.2

Comme $\frac{1}{2} y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{2} y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{- 1} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 + y x^{- 2}$

Étape 8.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{- 1} y]$ .

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Étape 8.3.1

Comme $- y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{- 1} y$ par rapport à $x$ est $- y \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$0 - y \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 + y x^{- 2}$

Étape 8.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$0 - y (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 + y x^{- 2}$

Étape 8.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$0 + 1 y x^{- 2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 + y x^{- 2}$

Étape 8.3.4

Multipliez $y$ par $1$ .

$0 + y x^{- 2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 + y x^{- 2}$

Étape 8.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + y x^{- 2} + \frac{d g}{d x} = 2 + y x^{- 2}$

Étape 8.5

Simplifiez

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Étape 8.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + y \frac{1}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = 2 + y x^{- 2}$

Étape 8.5.2

Associez des termes.

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Étape 8.5.2.1

Associez $y$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$0 + \frac{y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = 2 + y x^{- 2}$

Étape 8.5.2.2

Additionnez $0$ et $\frac{y}{x^{2}}$ .

$\frac{y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = 2 + y x^{- 2}$

Étape 8.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x^{2}} = 2 + y x^{- 2}$

Étape 9

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 9.1

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 9.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x^{2}} = 2 + y \frac{1}{x^{2}}$

Étape 9.1.1.2

Associez $y$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x^{2}} = 2 + \frac{y}{x^{2}}$

Étape 9.1.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.1.2.1

Soustrayez $\frac{y}{x^{2}}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = 2 + \frac{y}{x^{2}} - \frac{y}{x^{2}}$

Étape 9.1.2.2

Associez les termes opposés dans $2 + \frac{y}{x^{2}} - \frac{y}{x^{2}}$ .

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Étape 9.1.2.2.1

Soustrayez $\frac{y}{x^{2}}$ de $\frac{y}{x^{2}}$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 + 0$

Étape 9.1.2.2.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2$

Étape 10

Déterminez la primitive de $2$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 10.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = 2$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 d x$

Étape 10.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 d x$

Étape 10.3

Appliquez la règle de la constante.

$g (x) = 2 x + C$

Étape 11

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x^{- 1} y + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x^{- 1} y + 2 x + C$

Étape 12

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} - x^{- 1} y + 2 x + C$

Étape 12.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} - \frac{1}{x} y + 2 x + C$

Étape 12.3

Associez $y$ et $\frac{1}{x}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} - \frac{y}{x} + 2 x + C$