Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{y + \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle en fonction de $\frac{y}{x}$ .

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Étape 1.1

Divisez la fraction $\frac{y + \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x}$ en deux fractions.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x}$

Étape 1.2

Supposez que $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2}}}$

Étape 1.3

Associez $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ et $\sqrt{x^{2}}$ en un radical unique.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}}}$

Étape 1.4

Séparez $\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}}$ et simplifiez.

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Étape 1.4.1

Divisez la fraction $\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}}$ en deux fractions.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 1.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Étape 1.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Étape 1.5

Réécrivez $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ comme ${(\frac{y}{x})}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}}$

Étape 2

Laissez $V = \frac{y}{x}$ . Remplacez $\frac{y}{x}$ par $V$ .

$\frac{d y}{d x} = V + \sqrt{1 + V^{2}}$

Étape 3

Résolvez $V = \frac{y}{x}$ pour $y$ .

$y = V x$

Étape 4

Utilisez la règle de produit pour déterminer la dérivée de $y = V x$ par rapport à $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Étape 5

Remplacez $\frac{d y}{d x}$ par $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{1 + V^{2}}$

Étape 6

Résolvez l’équation différentielle remplacée.

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Étape 6.1

Séparez les variables.

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Étape 6.1.1

Résolvez $\frac{d V}{d x}$ .

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Étape 6.1.1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d V}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.1.1.1.1

Soustrayez $V$ des deux côtés de l’équation.

$x \frac{d V}{d x} = V + \sqrt{1 + V^{2}} - V$

Étape 6.1.1.1.2

Associez les termes opposés dans $V + \sqrt{1 + V^{2}} - V$ .

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Étape 6.1.1.1.2.1

Soustrayez $V$ de $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 0 + \sqrt{1 + V^{2}}$

Étape 6.1.1.1.2.2

Additionnez $0$ et $\sqrt{1 + V^{2}}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{1 + V^{2}}$

Étape 6.1.1.2

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = \sqrt{1 + V^{2}}$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 6.1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = \sqrt{1 + V^{2}}$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{x}$

Étape 6.1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{x}$

Étape 6.1.1.2.2.1.2

Divisez $\frac{d V}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{x}$

Étape 6.1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{\sqrt{1 + V^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 + V^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{x}$

Étape 6.1.3

Simplifiez

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Étape 6.1.3.1

Associez.

$\frac{1}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 \sqrt{1 + V^{2}}}{\sqrt{1 + V^{2}} x}$

Étape 6.1.3.2

Annulez le facteur commun de $\sqrt{1 + V^{2}}$ .

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Étape 6.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 \sqrt{1 + V^{2}}}{\sqrt{1 + V^{2}} x}$

Étape 6.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Étape 6.1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{\sqrt{1 + V^{2}}} d V = \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 6.2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{\sqrt{1 + V^{2}}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Laissez $V = \tan (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d V = \sec^{2} (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t)$ est positif.

$\int \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^{2} (t)}} \sec^{2} (t) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.2

Simplifiez les termes.

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Étape 6.2.2.2.1

Simplifiez $\sqrt{1 + \tan^{2} (t)}$ .

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Étape 6.2.2.2.1.1

Réorganisez les termes.

$\int \frac{1}{\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}} \sec^{2} (t) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.2.1.2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int \frac{1}{\sqrt{\sec^{2} (t)}} \sec^{2} (t) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.2.1.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int \frac{1}{\sec (t)} \sec^{2} (t) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.2.2

Annulez le facteur commun de $\sec (t)$ .

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Étape 6.2.2.2.2.1

Factorisez $\sec (t)$ à partir de $\sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sec (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{1}{\sec (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int \sec (t) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3

L’intégrale de $\sec (t)$ par rapport à $t$ est $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.4

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $\arctan (V)$ .

$\ln (| \sec (\arctan (V)) + \tan (\arctan (V)) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\ln (| \sec (\arctan (V)) + \tan (\arctan (V)) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 6.2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| \sec (\arctan (V)) + \tan (\arctan (V)) |) = \ln (| x |) + C$

Étape 7

Remplacez $V$ par $\frac{y}{x}$ .

$\ln (| \sec (\arctan (\frac{y}{x})) + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |) = \ln (| x |) + C$

Étape 8

Résolvez $\ln (| \sec (\arctan (\frac{y}{x})) + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |) = \ln (| x |) + C$ pour $y$ .

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Étape 8.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| \sec (\arctan (\frac{y}{x})) + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |) - \ln (| x |) = C$

Étape 8.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \sec (\arctan (\frac{y}{x})) + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

Étape 8.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(1, \frac{y}{x})$ , $(1, 0)$ , et l’origine. Alors $\arctan (\frac{y}{x})$ est l’angle entre l’abscisse positive et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(1, \frac{y}{x})$ . Ainsi, $\sec (\arctan (\frac{y}{x}))$ est $\sqrt{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}}$ .

$\ln (\frac{| \sqrt{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

Étape 8.3.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{y}{x}$ .

$\ln (\frac{| \sqrt{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

Étape 8.3.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\ln (\frac{| \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

Étape 8.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\ln (\frac{| \sqrt{\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

Étape 8.3.5

Réécrivez $\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}}$ comme ${(\frac{1}{x})}^{2} (x^{2} + y^{2})$ .

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Étape 8.3.5.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $x^{2} + y^{2}$ .

$\ln (\frac{| \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + y^{2})}{x^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

Étape 8.3.5.2

Factorisez la puissance parfaite $x^{2}$ dans $x^{2}$ .

$\ln (\frac{| \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + y^{2})}{x^{2} \cdot 1}} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

Étape 8.3.5.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} (x^{2} + y^{2})}{x^{2} \cdot 1}$ .

$\ln (\frac{| \sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} (x^{2} + y^{2})} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

Étape 8.3.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$\ln (\frac{| \frac{1}{x} \cdot \sqrt{x^{2} + y^{2}} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

Étape 8.3.7

Associez $\frac{1}{x}$ et $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

Étape 8.3.8

Les fonctions tangente et arc tangente sont inverses.

$\ln (\frac{| \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x} + \frac{y}{x} |}{| x |}) = C$

Étape 8.3.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\ln (\frac{| \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}} + y}{x} |}{| x |}) = C$