Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{t}{5} \cdot \frac{d y}{d t} = (y - 3)$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Résolvez $\frac{d y}{d t}$ .

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Étape 1.1.1

Associez $\frac{t}{5}$ et $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{t \frac{d y}{d t}}{5} = y - 3$

Étape 1.1.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $5$ .

$5 \frac{t \frac{d y}{d t}}{5} = 5 (y - 3)$

Étape 1.1.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 1.1.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.3.1.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 1.1.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$5 \frac{t \frac{d y}{d t}}{5} = 5 (y - 3)$

Étape 1.1.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$t \frac{d y}{d t} = 5 (y - 3)$

Étape 1.1.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.3.2.1

Simplifiez $5 (y - 3)$ .

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Étape 1.1.3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$t \frac{d y}{d t} = 5 y + 5 \cdot - 3$

Étape 1.1.3.2.1.2

Multipliez $5$ par $- 3$ .

$t \frac{d y}{d t} = 5 y - 15$

Étape 1.1.4

Divisez chaque terme dans $t \frac{d y}{d t} = 5 y - 15$ par $t$ et simplifiez.

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Étape 1.1.4.1

Divisez chaque terme dans $t \frac{d y}{d t} = 5 y - 15$ par $t$ .

$\frac{t \frac{d y}{d t}}{t} = \frac{5 y}{t} + \frac{- 15}{t}$

Étape 1.1.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.4.2.1

Annulez le facteur commun de $t$ .

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Étape 1.1.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{t \frac{d y}{d t}}{t} = \frac{5 y}{t} + \frac{- 15}{t}$

Étape 1.1.4.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d t}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{5 y}{t} + \frac{- 15}{t}$

Étape 1.1.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.4.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d y}{d t} = \frac{5 y}{t} - \frac{15}{t}$

Étape 1.2

Factorisez.

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Étape 1.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d y}{d t} = \frac{5 y - 15}{t}$

Étape 1.2.2

Factorisez $5$ à partir de $5 y - 15$ .

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5 y$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{5 (y) - 15}{t}$

Étape 1.2.2.2

Factorisez $5$ à partir de $- 15$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{5 y + 5 \cdot - 3}{t}$

Étape 1.2.2.3

Factorisez $5$ à partir de $5 y + 5 \cdot - 3$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{5 (y - 3)}{t}$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y - 3}$ .

$\frac{1}{y - 3} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y - 3} \cdot \frac{5 (y - 3)}{t}$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun de $y - 3$ .

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Étape 1.4.1

Factorisez $y - 3$ à partir de $5 (y - 3)$ .

$\frac{1}{y - 3} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y - 3} \cdot \frac{(y - 3) \cdot 5}{t}$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y - 3} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y - 3} \cdot \frac{(y - 3) \cdot 5}{t}$

Étape 1.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y - 3} \frac{d y}{d t} = \frac{5}{t}$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y - 3} d y = \frac{5}{t} d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y - 3} d y = \int \frac{5}{t} d t$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u = y - 3$ . Puis $d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u = y - 3$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $y - 3$ .

$\frac{d}{d y} [y - 3]$

Étape 2.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y - 3$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$

Étape 2.2.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 3]$

Étape 2.2.1.1.4

Comme $- 3$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $y$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.2.1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{5}{t} d t$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{5}{t} d t$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y - 3$ .

$\ln (| y - 3 |) + C_{1} = \int \frac{5}{t} d t$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $t$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y - 3 |) + C_{1} = 5 \int \frac{1}{t} d t$

Étape 2.3.2

L’intégrale de $\frac{1}{t}$ par rapport à $t$ est $\ln (| t |)$ .

$\ln (| y - 3 |) + C_{1} = 5 (\ln (| t |) + C_{2})$

Étape 2.3.3

Simplifiez

$\ln (| y - 3 |) + C_{1} = 5 \ln (| t |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y - 3 |) = 5 \ln (| t |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| y - 3 |) - 5 \ln (| t |) = C$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez $\ln (| y - 3 |) - 5 \ln (| t |)$ .

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $- 5 \ln (| t |)$ en déplaçant $5$ dans le logarithme.

$\ln (| y - 3 |) - \ln ({| t |}^{5}) = C$

Étape 3.2.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y - 3 |}{{| t |}^{5}}) = C$

Étape 3.3

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{| y - 3 |}{{| t |}^{5}})} = e^{C}$

Étape 3.4

Réécrivez $\ln (\frac{| y - 3 |}{{| t |}^{5}}) = C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y - 3 |}{{| t |}^{5}}$

Étape 3.5

Résolvez $y$ .

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Étape 3.5.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{| y - 3 |}{{| t |}^{5}} = e^{C}$ .

$\frac{| y - 3 |}{{| t |}^{5}} = e^{C}$

Étape 3.5.2

Multipliez les deux côtés par ${| t |}^{5}$ .

$\frac{| y - 3 |}{{| t |}^{5}} {| t |}^{5} = e^{C} {| t |}^{5}$

Étape 3.5.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.3.1

Annulez le facteur commun de ${| t |}^{5}$ .

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Étape 3.5.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| y - 3 |}{{| t |}^{5}} {| t |}^{5} = e^{C} {| t |}^{5}$

Étape 3.5.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$| y - 3 | = e^{C} {| t |}^{5}$

Étape 3.5.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.5.4.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{C} {| t |}^{5}$ .

$| y - 3 | = {| t |}^{5} e^{C}$

Étape 3.5.4.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y - 3 = \pm {| t |}^{5} e^{C}$

Étape 3.5.4.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\pm {| t |}^{5} e^{C}$ .

$y - 3 = \pm e^{C} {| t |}^{5}$

Étape 3.5.4.4

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \pm e^{C} {| t |}^{5} + 3$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \pm C {| t |}^{5} + 3$

Étape 4.2

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C {| t |}^{5} + 3$