Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{12 y^{2} + 2}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $12 y^{2} + 2$ .

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = (12 y^{2} + 2) \frac{1}{12 y^{2} + 2}$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $12 y^{2} + 2$ .

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Étape 1.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $12 y^{2}$ .

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = (12 y^{2} + 2) \frac{1}{2 (6 y^{2}) + 2}$

Étape 1.2.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = (12 y^{2} + 2) \frac{1}{2 (6 y^{2}) + 2 (1)}$

Étape 1.2.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (6 y^{2}) + 2 (1)$ .

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = (12 y^{2} + 2) \frac{1}{2 (6 y^{2} + 1)}$

Étape 1.2.2

Multipliez $12 y^{2} + 2$ par $\frac{1}{2 (6 y^{2} + 1)}$ .

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = \frac{12 y^{2} + 2}{2 (6 y^{2} + 1)}$

Étape 1.2.3

Annulez le facteur commun à $12 y^{2} + 2$ et $2$ .

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Étape 1.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $12 y^{2}$ .

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = \frac{2 (6 y^{2}) + 2}{2 (6 y^{2} + 1)}$

Étape 1.2.3.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = \frac{2 (6 y^{2}) + 2 \cdot 1}{2 (6 y^{2} + 1)}$

Étape 1.2.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (6 y^{2}) + 2 (1)$ .

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = \frac{2 (6 y^{2} + 1)}{2 (6 y^{2} + 1)}$

Étape 1.2.3.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = \frac{2 (6 y^{2} + 1)}{2 (6 y^{2} + 1)}$

Étape 1.2.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = \frac{6 y^{2} + 1}{6 y^{2} + 1}$

Étape 1.2.4

Annulez le facteur commun de $6 y^{2} + 1$ .

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Étape 1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = \frac{6 y^{2} + 1}{6 y^{2} + 1}$

Étape 1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = 1$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$(12 y^{2} + 2) d y = 1 d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int 12 y^{2} + 2 d y = \int d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 12 y^{2} d y + \int 2 d y = \int d x$

Étape 2.2.2

Comme $12$ est constant par rapport à $y$ , placez $12$ en dehors de l’intégrale.

$12 \int y^{2} d y + \int 2 d y = \int d x$

Étape 2.2.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$12 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) + \int 2 d y = \int d x$

Étape 2.2.4

Appliquez la règle de la constante.

$12 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) + 2 y + C_{2} = \int d x$

Étape 2.2.5

Simplifiez

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Étape 2.2.5.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $y^{3}$ .

$12 (\frac{y^{3}}{3} + C_{1}) + 2 y + C_{2} = \int d x$

Étape 2.2.5.2

Simplifiez

$4 y^{3} + 2 y + C_{3} = \int d x$

Étape 2.3

Appliquez la règle de la constante.

$4 y^{3} + 2 y + C_{3} = x + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$4 y^{3} + 2 y = x + K$