Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = x^{4} {(x^{5} - 5)}^{2}$ , $y (1) = 5$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = x^{4} {(x^{5} - 5)}^{2} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int x^{4} {(x^{5} - 5)}^{2} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int x^{4} {(x^{5} - 5)}^{2} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Laissez $u = x^{5} - 5$ . Alors $d u = 5 x^{4} d x$ , donc $\frac{1}{5} d u = x^{4} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.1.1

Laissez $u = x^{5} - 5$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Différenciez $x^{5} - 5$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5} - 5]$

Étape 2.3.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{5} - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 2.3.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 2.3.1.1.4

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$5 x^{4} + 0$

Étape 2.3.1.1.5

Additionnez $5 x^{4}$ et $0$ .

$5 x^{4}$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$y + C_{1} = \int u^{2} \frac{1}{5} d u$

Étape 2.3.2

Associez $u^{2}$ et $\frac{1}{5}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{u^{2}}{5} d u$

Étape 2.3.3

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{5} \int u^{2} d u$

Étape 2.3.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5} (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Réécrivez $\frac{1}{5} (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$ comme $\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C_{2}$

Étape 2.3.5.2

Simplifiez

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Étape 2.3.5.2.1

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5 \cdot 3} u^{3} + C_{2}$

Étape 2.3.5.2.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{15} u^{3} + C_{2}$

Étape 2.3.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{5} - 5$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{15} {(x^{5} - 5)}^{3} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = \frac{1}{15} {(x^{5} - 5)}^{3} + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $1$ et $y$ par $5$ dans $y = \frac{1}{15} {(x^{5} - 5)}^{3} + K$ .

$5 = \frac{1}{15} {(1^{5} - 5)}^{3} + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{15} \cdot {(1^{5} - 5)}^{3} + K = 5$ .

$\frac{1}{15} \cdot {(1^{5} - 5)}^{3} + K = 5$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{15} \cdot {(1 - 5)}^{3} + K = 5$

Étape 4.2.2

Soustrayez $5$ de $1$ .

$\frac{1}{15} \cdot {(- 4)}^{3} + K = 5$

Étape 4.2.3

Élevez $- 4$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{15} \cdot - 64 + K = 5$

Étape 4.2.4

Associez $\frac{1}{15}$ et $- 64$ .

$\frac{- 64}{15} + K = 5$

Étape 4.2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{64}{15} + K = 5$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.3.1

Ajoutez $\frac{64}{15}$ aux deux côtés de l’équation.

$K = 5 + \frac{64}{15}$

Étape 4.3.2

Pour écrire $5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{15}{15}$ .

$K = 5 \cdot \frac{15}{15} + \frac{64}{15}$

Étape 4.3.3

Associez $5$ et $\frac{15}{15}$ .

$K = \frac{5 \cdot 15}{15} + \frac{64}{15}$

Étape 4.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$K = \frac{5 \cdot 15 + 64}{15}$

Étape 4.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.5.1

Multipliez $5$ par $15$ .

$K = \frac{75 + 64}{15}$

Étape 4.3.5.2

Additionnez $75$ et $64$ .

$K = \frac{139}{15}$

Étape 5

Remplacez $K$ par $\frac{139}{15}$ dans $y = \frac{1}{15} {(x^{5} - 5)}^{3} + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $\frac{139}{15}$ .

$y = \frac{1}{15} {(x^{5} - 5)}^{3} + \frac{139}{15}$

Étape 5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1

Utilisez le théorème du binôme.

$y = \frac{1}{15} ({(x^{5})}^{3} + 3 {(x^{5})}^{2} \cdot - 5 + 3 x^{5} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

Étape 5.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{5})}^{3}$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{5 \cdot 3} + 3 {(x^{5})}^{2} \cdot - 5 + 3 x^{5} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

Étape 5.2.2.1.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} + 3 {(x^{5})}^{2} \cdot - 5 + 3 x^{5} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

Étape 5.2.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{5})}^{2}$ .

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Étape 5.2.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} + 3 x^{5 \cdot 2} \cdot - 5 + 3 x^{5} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

Étape 5.2.2.2.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} + 3 x^{10} \cdot - 5 + 3 x^{5} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

Étape 5.2.2.3

Multipliez $- 5$ par $3$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} - 15 x^{10} + 3 x^{5} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

Étape 5.2.2.4

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} - 15 x^{10} + 3 x^{5} \cdot 25 + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

Étape 5.2.2.5

Multipliez $25$ par $3$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} - 15 x^{10} + 75 x^{5} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

Étape 5.2.2.6

Élevez $- 5$ à la puissance $3$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} - 15 x^{10} + 75 x^{5} - 125) + \frac{139}{15}$

Étape 5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{1}{15} x^{15} + \frac{1}{15} (- 15 x^{10}) + \frac{1}{15} (75 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

Étape 5.2.4

Simplifiez

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Étape 5.2.4.1

Associez $\frac{1}{15}$ et $x^{15}$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} + \frac{1}{15} (- 15 x^{10}) + \frac{1}{15} (75 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

Étape 5.2.4.2

Annulez le facteur commun de $15$ .

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Étape 5.2.4.2.1

Factorisez $15$ à partir de $- 15 x^{10}$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} + \frac{1}{15} (15 (- x^{10})) + \frac{1}{15} (75 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

Étape 5.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x^{15}}{15} + \frac{1}{15} (15 (- x^{10})) + \frac{1}{15} (75 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

Étape 5.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + \frac{1}{15} (75 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

Étape 5.2.4.3

Annulez le facteur commun de $15$ .

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Étape 5.2.4.3.1

Factorisez $15$ à partir de $75 x^{5}$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + \frac{1}{15} (15 (5 x^{5})) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

Étape 5.2.4.3.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + \frac{1}{15} (15 (5 x^{5})) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

Étape 5.2.4.3.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

Étape 5.2.4.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.2.4.4.1

Factorisez $5$ à partir de $15$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{1}{5 (3)} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

Étape 5.2.4.4.2

Factorisez $5$ à partir de $- 125$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{1}{5 \cdot 3} \cdot (5 \cdot - 25) + \frac{139}{15}$

Étape 5.2.4.4.3

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{1}{5 \cdot 3} \cdot (5 \cdot - 25) + \frac{139}{15}$

Étape 5.2.4.4.4

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{1}{3} \cdot - 25 + \frac{139}{15}$

Étape 5.2.4.5

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 25$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{- 25}{3} + \frac{139}{15}$

Étape 5.2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} - \frac{25}{3} + \frac{139}{15}$

Étape 5.3

Pour écrire $- \frac{25}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} - \frac{25}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{139}{15}$

Étape 5.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $15$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.4.1

Multipliez $\frac{25}{3}$ par $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} - \frac{25 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{139}{15}$

Étape 5.4.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} - \frac{25 \cdot 5}{15} + \frac{139}{15}$

Étape 5.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{- 25 \cdot 5 + 139}{15}$

Étape 5.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.6.1

Multipliez $- 25$ par $5$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{- 125 + 139}{15}$

Étape 5.6.2

Additionnez $- 125$ et $139$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{14}{15}$