Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = e^{- y} (2 x - 4)$ , $y (5) = 0$

Étape 1

Séparez les variables.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{e^{- y}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} (2 x - 4))$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $e^{- y}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} (2 x - 4))$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = 2 x - 4$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{e^{- y}} d y = (2 x - 4) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{e^{- y}} d y = \int 2 x - 4 d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Inversez l’exposant de $e^{- y}$ et placez-le hors du dénominateur.

$\int 1 {(e^{- y})}^{- 1} d y = \int 2 x - 4 d x$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.2.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{- y})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- y \cdot - 1} d y = \int 2 x - 4 d x$

Étape 2.2.1.2.1.2

Multipliez $- y \cdot - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\int 1 e^{1 y} d y = \int 2 x - 4 d x$

Étape 2.2.1.2.1.2.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$\int 1 e^{y} d y = \int 2 x - 4 d x$

Étape 2.2.1.2.2

Multipliez $e^{y}$ par $1$ .

$\int e^{y} d y = \int 2 x - 4 d x$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $e^{y}$ par rapport à $y$ est $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int 2 x - 4 d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$e^{y} + C_{1} = \int 2 x d x + \int - 4 d x$

Étape 2.3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{y} + C_{1} = 2 \int x d x + \int - 4 d x$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 4 d x$

Étape 2.3.4

Appliquez la règle de la constante.

$e^{y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3}$

Étape 2.3.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3}$

Étape 2.3.5.2

Simplifiez

$e^{y} + C_{1} = x^{2} - 4 x + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$e^{y} = x^{2} - 4 x + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{y}) = \ln (x^{2} - 4 x + K)$

Étape 3.2

Développez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Développez $\ln (e^{y})$ en déplaçant $y$ hors du logarithme.

$y \ln (e) = \ln (x^{2} - 4 x + K)$

Étape 3.2.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (x^{2} - 4 x + K)$

Étape 3.2.3

Multipliez $y$ par $1$ .

$y = \ln (x^{2} - 4 x + K)$

Étape 4

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $5$ et $y$ par $0$ dans $y = \ln (x^{2} - 4 x + K)$ .

$0 = \ln (5^{2} - 4 \cdot 5 + K)$

Étape 5

Résolvez $K$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $\ln (5^{2} - 4 \cdot 5 + K) = 0$ .

$\ln (5^{2} - 4 \cdot 5 + K) = 0$

Étape 5.2

Pour résoudre $K$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (5^{2} - 4 \cdot 5 + K)} = e^{0}$

Étape 5.3

Réécrivez $\ln (5^{2} - 4 \cdot 5 + K) = 0$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{0} = 5^{2} - 4 \cdot 5 + K$

Étape 5.4

Résolvez $K$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1

Réécrivez l’équation comme $5^{2} - 4 \cdot 5 + K = e^{0}$ .

$5^{2} - 4 \cdot 5 + K = e^{0}$

Étape 5.4.2

Simplifiez $5^{2} - 4 \cdot 5 + K$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.1.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$25 - 4 \cdot 5 + K = e^{0}$

Étape 5.4.2.1.2

Multipliez $- 4$ par $5$ .

$25 - 20 + K = e^{0}$

Étape 5.4.2.2

Soustrayez $20$ de $25$ .

$5 + K = e^{0}$

Étape 5.4.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$5 + K = 1$

Étape 5.4.4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.4.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$K = 1 - 5$

Étape 5.4.4.2

Soustrayez $5$ de $1$ .

$K = - 4$

Étape 6

Remplacez $K$ par $- 4$ dans $y = \ln (x^{2} - 4 x + K)$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remplacez $K$ par $- 4$ .

$y = \ln (x^{2} - 4 x - 4)$