Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + 7 y = 11 x$

Étape 1

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = 7$ .

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Étape 1.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int 7 d x}$

Étape 1.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{7 x + C}$

Étape 1.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{7 x}$

Étape 2

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{7 x}$ .

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme par $e^{7 x}$ .

$e^{7 x} \frac{d y}{d x} + e^{7 x} (7 y) = e^{7 x} (11 x)$

Étape 2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{7 x} \frac{d y}{d x} + 7 e^{7 x} y = e^{7 x} (11 x)$

Étape 2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{7 x} \frac{d y}{d x} + 7 e^{7 x} y = 11 e^{7 x} x$

Étape 2.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{7 x} \frac{d y}{d x} + 7 e^{7 x} y = 11 e^{7 x} x$ .

$e^{7 x} \frac{d y}{d x} + 7 y e^{7 x} = 11 x e^{7 x}$

Étape 3

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{7 x} y] = 11 x e^{7 x}$

Étape 4

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{7 x} y] d x = \int 11 x e^{7 x} d x$

Étape 5

Intégrez le côté gauche.

$e^{7 x} y = \int 11 x e^{7 x} d x$

Étape 6

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.1

Comme $11$ est constant par rapport à $x$ , placez $11$ en dehors de l’intégrale.

$e^{7 x} y = 11 \int x e^{7 x} d x$

Étape 6.2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{7 x}$ .

$e^{7 x} y = 11 (x (\frac{1}{7} e^{7 x}) - \int \frac{1}{7} e^{7 x} d x)$

Étape 6.3

Simplifiez

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Étape 6.3.1

Associez $\frac{1}{7}$ et $e^{7 x}$ .

$e^{7 x} y = 11 (x \frac{e^{7 x}}{7} - \int \frac{1}{7} e^{7 x} d x)$

Étape 6.3.2

Associez $x$ et $\frac{e^{7 x}}{7}$ .

$e^{7 x} y = 11 (\frac{x e^{7 x}}{7} - \int \frac{1}{7} e^{7 x} d x)$

Étape 6.3.3

Associez $\frac{1}{7}$ et $e^{7 x}$ .

$e^{7 x} y = 11 (\frac{x e^{7 x}}{7} - \int \frac{e^{7 x}}{7} d x)$

Étape 6.4

Comme $\frac{1}{7}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{7}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{7 x} y = 11 (\frac{x e^{7 x}}{7} - (\frac{1}{7} \int e^{7 x} d x))$

Étape 6.5

Laissez $u = 7 x$ . Alors $d u = 7 d x$ , donc $\frac{1}{7} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.5.1

Laissez $u = 7 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 6.5.1.1

Différenciez $7 x$ .

$\frac{d}{d x} [7 x]$

Étape 6.5.1.2

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6.5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$7 \cdot 1$

Étape 6.5.1.4

Multipliez $7$ par $1$ .

$7$

Étape 6.5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{7 x} y = 11 (\frac{x e^{7 x}}{7} - \frac{1}{7} \int e^{u} \frac{1}{7} d u)$

Étape 6.6

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{7}$ .

$e^{7 x} y = 11 (\frac{x e^{7 x}}{7} - \frac{1}{7} \int \frac{e^{u}}{7} d u)$

Étape 6.7

Comme $\frac{1}{7}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{7}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{7 x} y = 11 (\frac{x e^{7 x}}{7} - \frac{1}{7} (\frac{1}{7} \int e^{u} d u))$

Étape 6.8

Simplifiez

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Étape 6.8.1

Multipliez $\frac{1}{7}$ par $\frac{1}{7}$ .

$e^{7 x} y = 11 (\frac{x e^{7 x}}{7} - \frac{1}{7 \cdot 7} \int e^{u} d u)$

Étape 6.8.2

Multipliez $7$ par $7$ .

$e^{7 x} y = 11 (\frac{x e^{7 x}}{7} - \frac{1}{49} \int e^{u} d u)$

Étape 6.9

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$e^{7 x} y = 11 (\frac{x e^{7 x}}{7} - \frac{1}{49} (e^{u} + C))$

Étape 6.10

Réécrivez $11 (\frac{x e^{7 x}}{7} - \frac{1}{49} (e^{u} + C))$ comme $11 (\frac{1}{7} x e^{7 x} - \frac{1}{49} e^{u}) + C$ .

$e^{7 x} y = 11 (\frac{1}{7} x e^{7 x} - \frac{1}{49} e^{u}) + C$

Étape 6.11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $7 x$ .

$e^{7 x} y = 11 (\frac{1}{7} x e^{7 x} - \frac{1}{49} e^{7 x}) + C$

Étape 7

Résolvez $y$ .

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Étape 7.1

Simplifiez

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Étape 7.1.1

Associez $e^{7 x}$ et $\frac{1}{49}$ .

$e^{7 x} y = 11 (\frac{1}{7} \cdot (x e^{7 x}) - \frac{e^{7 x}}{49}) + C$

Étape 7.1.2

Supprimez les parenthèses.

$e^{7 x} y = 11 (\frac{1}{7} \cdot x e^{7 x} - \frac{e^{7 x}}{49}) + C$

Étape 7.2

Divisez chaque terme dans $e^{7 x} y = 11 (\frac{1}{7} \cdot (x e^{7 x}) - \frac{e^{7 x}}{49}) + C$ par $e^{7 x}$ et simplifiez.

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Étape 7.2.1

Divisez chaque terme dans $e^{7 x} y = 11 (\frac{1}{7} \cdot (x e^{7 x}) - \frac{e^{7 x}}{49}) + C$ par $e^{7 x}$ .

$\frac{e^{7 x} y}{e^{7 x}} = \frac{11 (\frac{1}{7} \cdot (x e^{7 x}) - \frac{e^{7 x}}{49})}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{7 x}$ .

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Étape 7.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{7 x} y}{e^{7 x}} = \frac{11 (\frac{1}{7} \cdot (x e^{7 x}) - \frac{e^{7 x}}{49})}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Étape 7.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{11 (\frac{1}{7} \cdot (x e^{7 x}) - \frac{e^{7 x}}{49})}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Étape 7.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.3.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.3.1.1.1

Factorisez $e^{7 x}$ à partir de $\frac{1}{7} \cdot x e^{7 x} - \frac{e^{7 x}}{49}$ .

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Étape 7.2.3.1.1.1.1

Factorisez $e^{7 x}$ à partir de $\frac{1}{7} \cdot x e^{7 x}$ .

$y = \frac{11 (e^{7 x} (\frac{1}{7} \cdot x) - \frac{e^{7 x}}{49})}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Étape 7.2.3.1.1.1.2

Factorisez $e^{7 x}$ à partir de $- \frac{e^{7 x}}{49}$ .

$y = \frac{11 (e^{7 x} (\frac{1}{7} \cdot x) + e^{7 x} (- \frac{1}{49}))}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Étape 7.2.3.1.1.1.3

Factorisez $e^{7 x}$ à partir de $e^{7 x} (\frac{1}{7} \cdot x) + e^{7 x} (- \frac{1}{49})$ .

$y = \frac{11 (e^{7 x} (\frac{1}{7} \cdot x - \frac{1}{49}))}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Étape 7.2.3.1.1.2

Associez $\frac{1}{7}$ et $x$ .

$y = \frac{11 e^{7 x} (\frac{x}{7} - \frac{1}{49})}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Étape 7.2.3.1.1.3

Pour écrire $\frac{x}{7}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7}{7}$ .

$y = \frac{11 e^{7 x} (\frac{x}{7} \cdot \frac{7}{7} - \frac{1}{49})}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Étape 7.2.3.1.1.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $49$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 7.2.3.1.1.4.1

Multipliez $\frac{x}{7}$ par $\frac{7}{7}$ .

$y = \frac{11 e^{7 x} (\frac{x \cdot 7}{7 \cdot 7} - \frac{1}{49})}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Étape 7.2.3.1.1.4.2

Multipliez $7$ par $7$ .

$y = \frac{11 e^{7 x} (\frac{x \cdot 7}{49} - \frac{1}{49})}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Étape 7.2.3.1.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{11 e^{7 x} \frac{x \cdot 7 - 1}{49}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Étape 7.2.3.1.1.6

Déplacez $7$ à gauche de $x$ .

$y = \frac{11 e^{7 x} \frac{7 x - 1}{49}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Étape 7.2.3.1.1.7

Associez les exposants.

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Étape 7.2.3.1.1.7.1

Associez $\frac{7 x - 1}{49}$ et $11$ .

$y = \frac{\frac{(7 x - 1) \cdot 11}{49} e^{7 x}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Étape 7.2.3.1.1.7.2

Associez $\frac{(7 x - 1) \cdot 11}{49}$ et $e^{7 x}$ .

$y = \frac{\frac{(7 x - 1) \cdot 11 e^{7 x}}{49}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Étape 7.2.3.1.1.8

Déplacez $11$ à gauche de $7 x - 1$ .

$y = \frac{\frac{11 (7 x - 1) e^{7 x}}{49}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Étape 7.2.3.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = \frac{11 (7 x - 1) e^{7 x}}{49} \cdot \frac{1}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Étape 7.2.3.1.3

Associez.

$y = \frac{11 (7 x - 1) e^{7 x} \cdot 1}{49 e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Étape 7.2.3.1.4

Annulez le facteur commun de $e^{7 x}$ .

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Étape 7.2.3.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{11 (7 x - 1) e^{7 x} \cdot 1}{49 e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Étape 7.2.3.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{11 (7 x - 1) \cdot 1}{49} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Étape 7.2.3.1.5

Multipliez $11$ par $1$ .

$y = \frac{11 (7 x - 1)}{49} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Étape 7.2.3.2

Pour écrire $\frac{11 (7 x - 1)}{49}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{e^{7 x}}{e^{7 x}}$ .

$y = \frac{11 (7 x - 1)}{49} \cdot \frac{e^{7 x}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Étape 7.2.3.3

Pour écrire $\frac{C}{e^{7 x}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{49}{49}$ .

$y = \frac{11 (7 x - 1)}{49} \cdot \frac{e^{7 x}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}} \cdot \frac{49}{49}$

Étape 7.2.3.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $49 e^{7 x}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 7.2.3.4.1

Multipliez $\frac{11 (7 x - 1)}{49}$ par $\frac{e^{7 x}}{e^{7 x}}$ .

$y = \frac{11 (7 x - 1) e^{7 x}}{49 e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}} \cdot \frac{49}{49}$

Étape 7.2.3.4.2

Multipliez $\frac{C}{e^{7 x}}$ par $\frac{49}{49}$ .

$y = \frac{11 (7 x - 1) e^{7 x}}{49 e^{7 x}} + \frac{C \cdot 49}{e^{7 x} \cdot 49}$

Étape 7.2.3.4.3

Réorganisez les facteurs de $e^{7 x} \cdot 49$ .

$y = \frac{11 (7 x - 1) e^{7 x}}{49 e^{7 x}} + \frac{C \cdot 49}{49 e^{7 x}}$

Étape 7.2.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{11 (7 x - 1) e^{7 x} + C \cdot 49}{49 e^{7 x}}$

Étape 7.2.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.3.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{(11 (7 x) + 11 \cdot - 1) e^{7 x} + C \cdot 49}{49 e^{7 x}}$

Étape 7.2.3.6.2

Multipliez $7$ par $11$ .

$y = \frac{(77 x + 11 \cdot - 1) e^{7 x} + C \cdot 49}{49 e^{7 x}}$

Étape 7.2.3.6.3

Multipliez $11$ par $- 1$ .

$y = \frac{(77 x - 11) e^{7 x} + C \cdot 49}{49 e^{7 x}}$

Étape 7.2.3.6.4

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{77 x e^{7 x} - 11 e^{7 x} + C \cdot 49}{49 e^{7 x}}$

Étape 7.2.3.6.5

Déplacez $49$ à gauche de $C$ .

$y = \frac{77 x e^{7 x} - 11 e^{7 x} + 49 C}{49 e^{7 x}}$