Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = x^{2} {(2 y - 1)}^{2}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{{(2 y - 1)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(2 y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 y - 1)}^{2}} (x^{2} {(2 y - 1)}^{2})$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de ${(2 y - 1)}^{2}$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez ${(2 y - 1)}^{2}$ à partir de $x^{2} {(2 y - 1)}^{2}$ .

$\frac{1}{{(2 y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 y - 1)}^{2}} ({(2 y - 1)}^{2} x^{2})$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{{(2 y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 y - 1)}^{2}} ({(2 y - 1)}^{2} x^{2})$

Étape 1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{{(2 y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = x^{2}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{{(2 y - 1)}^{2}} d y = x^{2} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{{(2 y - 1)}^{2}} d y = \int x^{2} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u = 2 y - 1$ . Alors $d u = 2 d y$ , donc $\frac{1}{2} d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u = 2 y - 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $2 y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [2 y - 1]$

Étape 2.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 y - 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.2.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

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Étape 2.2.1.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $y$ est $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.2.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.2.1.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.2.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.2.1.1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 2.2.1.1.4.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u = \int x^{2} d x$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Multipliez $\frac{1}{u^{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u^{2} \cdot 2} d u = \int x^{2} d x$

Étape 2.2.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $u^{2}$ .

$\int \frac{1}{2 u^{2}} d u = \int x^{2} d x$

Étape 2.2.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{2}} d u = \int x^{2} d x$

Étape 2.2.4

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.2.4.1

Retirez $u^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(u^{2})}^{- 1} d u = \int x^{2} d x$

Étape 2.2.4.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{2 \cdot - 1} d u = \int x^{2} d x$

Étape 2.2.4.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{- 2} d u = \int x^{2} d x$

Étape 2.2.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 2}$ par rapport à $u$ est $- u^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} (- u^{- 1} + C_{1}) = \int x^{2} d x$

Étape 2.2.6

Simplifiez

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Étape 2.2.6.1

Réécrivez $\frac{1}{2} (- u^{- 1} + C_{1})$ comme $\frac{1}{2} (- \frac{1}{u}) + C_{1}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{u}) + C_{1} = \int x^{2} d x$

Étape 2.2.6.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{u}$ .

$- \frac{1}{2 u} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Étape 2.2.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 y - 1$ .

$- \frac{1}{2 (2 y - 1)} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Étape 2.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- \frac{1}{2 (2 y - 1)} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$- \frac{1}{2 (2 y - 1)} = \frac{1}{3} x^{3} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$- \frac{1}{2 (2 y - 1)} = \frac{x^{3}}{3} + K$

Étape 3.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$2 (2 y - 1), 3, 1$

Étape 3.2.2

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 3.2.3

$2$ n’a pas de facteur hormis $1$ et $2$ .

$2$ est un nombre premier

Étape 3.2.4

$3$ n’a pas de facteur hormis $1$ et $3$ .

$3$ est un nombre premier

Étape 3.2.5

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 3.2.6

Le plus petit multiple commun de $2, 3, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$2 \cdot 3$

Étape 3.2.7

Multipliez $2$ par $3$ .

$6$

Étape 3.2.8

Le facteur pour $2 y - 1$ est $2 y - 1$ lui-même.

$(2 y - 1) = 2 y - 1$

$(2 y - 1)$ se produit $1$ fois.

Étape 3.2.9

Le plus petit multiple commun de $2 y - 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$2 y - 1$

Étape 3.2.10

Le plus petit multiple commun $LCM$ de certains nombres est le plus petit nombre dont les nombres sont des facteurs.

$6 (2 y - 1)$

Étape 3.3

Multiplier chaque terme dans $- \frac{1}{2 (2 y - 1)} = \frac{x^{3}}{3} + K$ par $6 (2 y - 1)$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.3.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{1}{2 (2 y - 1)} = \frac{x^{3}}{3} + K$ par $6 (2 y - 1)$ .

$- \frac{1}{2 (2 y - 1)} (6 (2 y - 1)) = \frac{x^{3}}{3} (6 (2 y - 1)) + K (6 (2 y - 1))$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2 (2 y - 1)$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2 (2 y - 1)}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{2 (2 y - 1)} (6 (2 y - 1)) = \frac{x^{3}}{3} (6 (2 y - 1)) + K (6 (2 y - 1))$

Étape 3.3.2.1.2

Factorisez $2 (2 y - 1)$ à partir de $6 (2 y - 1)$ .

$\frac{- 1}{2 (2 y - 1)} (2 (2 y - 1) (3)) = \frac{x^{3}}{3} (6 (2 y - 1)) + K (6 (2 y - 1))$

Étape 3.3.2.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{2 (2 y - 1)} (2 (2 y - 1) \cdot 3) = \frac{x^{3}}{3} (6 (2 y - 1)) + K (6 (2 y - 1))$

Étape 3.3.2.1.4

Réécrivez l’expression.

$- 1 \cdot 3 = \frac{x^{3}}{3} (6 (2 y - 1)) + K (6 (2 y - 1))$

Étape 3.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3 = \frac{x^{3}}{3} (6 (2 y - 1)) + K (6 (2 y - 1))$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 3 = 6 \frac{x^{3}}{3} (2 y - 1) + K (6 (2 y - 1))$

Étape 3.3.3.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.3.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$- 3 = 3 (2) \frac{x^{3}}{3} (2 y - 1) + K (6 (2 y - 1))$

Étape 3.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 3 = 3 \cdot 2 \frac{x^{3}}{3} (2 y - 1) + K (6 (2 y - 1))$

Étape 3.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 3 = 2 x^{3} (2 y - 1) + K (6 (2 y - 1))$

Étape 3.3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 3 = 2 x^{3} (2 y) + 2 x^{3} \cdot - 1 + K (6 (2 y - 1))$

Étape 3.3.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 3 = 2 \cdot 2 x^{3} y + 2 x^{3} \cdot - 1 + K (6 (2 y - 1))$

Étape 3.3.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 3 = 2 \cdot 2 x^{3} y - 2 x^{3} + K (6 (2 y - 1))$

Étape 3.3.3.1.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$- 3 = 4 x^{3} y - 2 x^{3} + K (6 (2 y - 1))$

Étape 3.3.3.1.7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 3 = 4 x^{3} y - 2 x^{3} + 6 K (2 y - 1)$

Étape 3.3.3.1.8

Appliquez la propriété distributive.

$- 3 = 4 x^{3} y - 2 x^{3} + 6 K (2 y) + 6 K \cdot - 1$

Étape 3.3.3.1.9

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 3 = 4 x^{3} y - 2 x^{3} + 6 \cdot 2 K y + 6 K \cdot - 1$

Étape 3.3.3.1.10

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$- 3 = 4 x^{3} y - 2 x^{3} + 6 \cdot 2 K y - 6 K$

Étape 3.3.3.1.11

Multipliez $6$ par $2$ .

$- 3 = 4 x^{3} y - 2 x^{3} + 12 K y - 6 K$

Étape 3.4

Résolvez l’équation.

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Étape 3.4.1

Réécrivez l’équation comme $4 x^{3} y - 2 x^{3} + 12 K y - 6 K = - 3$ .

$4 x^{3} y - 2 x^{3} + 12 K y - 6 K = - 3$

Étape 3.4.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.4.2.1

Ajoutez $2 x^{3}$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x^{3} y + 12 K y - 6 K = - 3 + 2 x^{3}$

Étape 3.4.2.2

Ajoutez $6 K$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x^{3} y + 12 K y = - 3 + 2 x^{3} + 6 K$

Étape 3.4.3

Factorisez $4 y$ à partir de $4 x^{3} y + 12 K y$ .

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Étape 3.4.3.1

Factorisez $4 y$ à partir de $4 x^{3} y$ .

$4 y (x^{3}) + 12 K y = - 3 + 2 x^{3} + 6 K$

Étape 3.4.3.2

Factorisez $4 y$ à partir de $12 K y$ .

$4 y (x^{3}) + 4 y (3 K) = - 3 + 2 x^{3} + 6 K$

Étape 3.4.3.3

Factorisez $4 y$ à partir de $4 y (x^{3}) + 4 y (3 K)$ .

$4 y (x^{3} + 3 K) = - 3 + 2 x^{3} + 6 K$

Étape 3.4.4

Divisez chaque terme dans $4 y (x^{3} + 3 K) = - 3 + 2 x^{3} + 6 K$ par $4 (x^{3} + 3 K)$ et simplifiez.

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Étape 3.4.4.1

Divisez chaque terme dans $4 y (x^{3} + 3 K) = - 3 + 2 x^{3} + 6 K$ par $4 (x^{3} + 3 K)$ .

$\frac{4 y (x^{3} + 3 K)}{4 (x^{3} + 3 K)} = \frac{- 3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 x^{3}}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{6 K}{4 (x^{3} + 3 K)}$

Étape 3.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 y (x^{3} + 3 K)}{4 (x^{3} + 3 K)} = \frac{- 3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 x^{3}}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{6 K}{4 (x^{3} + 3 K)}$

Étape 3.4.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y (x^{3} + 3 K)}{x^{3} + 3 K} = \frac{- 3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 x^{3}}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{6 K}{4 (x^{3} + 3 K)}$

Étape 3.4.4.2.2

Annulez le facteur commun de $x^{3} + 3 K$ .

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Étape 3.4.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (x^{3} + 3 K)}{x^{3} + 3 K} = \frac{- 3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 x^{3}}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{6 K}{4 (x^{3} + 3 K)}$

Étape 3.4.4.2.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 x^{3}}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{6 K}{4 (x^{3} + 3 K)}$

Étape 3.4.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.4.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 x^{3}}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{6 K}{4 (x^{3} + 3 K)}$

Étape 3.4.4.3.1.2

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 3.4.4.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3}$ .

$y = - \frac{3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 (x^{3})}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{6 K}{4 (x^{3} + 3 K)}$

Étape 3.4.4.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.4.3.1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 (x^{3} + 3 K)$ .

$y = - \frac{3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 (x^{3})}{2 (2 (x^{3} + 3 K))} + \frac{6 K}{4 (x^{3} + 3 K)}$

Étape 3.4.4.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 x^{3}}{2 (2 (x^{3} + 3 K))} + \frac{6 K}{4 (x^{3} + 3 K)}$

Étape 3.4.4.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{x^{3}}{2 (x^{3} + 3 K)} + \frac{6 K}{4 (x^{3} + 3 K)}$

Étape 3.4.4.3.1.3

Annulez le facteur commun à $6$ et $4$ .

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Étape 3.4.4.3.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $6 K$ .

$y = - \frac{3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{x^{3}}{2 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 (3 K)}{4 (x^{3} + 3 K)}$

Étape 3.4.4.3.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.4.3.1.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 (x^{3} + 3 K)$ .

$y = - \frac{3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{x^{3}}{2 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 (3 K)}{2 (2 (x^{3} + 3 K))}$

Étape 3.4.4.3.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{x^{3}}{2 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 (3 K)}{2 (2 (x^{3} + 3 K))}$

Étape 3.4.4.3.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{x^{3}}{2 (x^{3} + 3 K)} + \frac{3 K}{2 (x^{3} + 3 K)}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = - \frac{3}{4 (x^{3} + K)} + \frac{x^{3}}{2 (x^{3} + K)} + \frac{K}{2 (x^{3} + K)}$