Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + 4 x^{3} y = x^{3}$

Étape 1

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = 4 x^{3}$ .

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Étape 1.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int 4 x^{3} d x}$

Étape 1.2

Intégrez $4 x^{3}$ .

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Étape 1.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$e^{4 \int x^{3} d x}$

Étape 1.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$e^{4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)}$

Étape 1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.3.1

Réécrivez $4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ comme $4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$ .

$e^{4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez

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Étape 1.2.3.2.1

Associez $4$ et $\frac{1}{4}$ .

$e^{\frac{4}{4} x^{4} + C}$

Étape 1.2.3.2.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.2.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$e^{\frac{4}{4} x^{4} + C}$

Étape 1.2.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$e^{1 x^{4} + C}$

Étape 1.2.3.2.3

Multipliez $x^{4}$ par $1$ .

$e^{x^{4} + C}$

Étape 1.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{x^{4}}$

Étape 2

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{x^{4}}$ .

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme par $e^{x^{4}}$ .

$e^{x^{4}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{4}} (4 x^{3} y) = e^{x^{4}} x^{3}$

Étape 2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{x^{4}} \frac{d y}{d x} + 4 e^{x^{4}} (x^{3} y) = e^{x^{4}} x^{3}$

Étape 2.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x^{4}} \frac{d y}{d x} + 4 e^{x^{4}} (x^{3} y) = e^{x^{4}} x^{3}$ .

$e^{x^{4}} \frac{d y}{d x} + 4 x^{3} y e^{x^{4}} = x^{3} e^{x^{4}}$

Étape 3

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{4}} y] = x^{3} e^{x^{4}}$

Étape 4

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{4}} y] d x = \int x^{3} e^{x^{4}} d x$

Étape 5

Intégrez le côté gauche.

$e^{x^{4}} y = \int x^{3} e^{x^{4}} d x$

Étape 6

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.1

Laissez $u_{1} = x^{2}$ . Alors $d u_{1} = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 6.1.1

Laissez $u_{1} = x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 6.1.1.1

Différenciez $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 6.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x$

Étape 6.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Réécrivez ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ comme ${u_{1}}^{2}$ .

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Étape 6.2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u_{1}}$ comme ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 6.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 6.2.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 6.2.1.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 6.2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 6.2.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 6.2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 6.2.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 6.2.1.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 6.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $u_{1}$ .

$e^{x^{4}} y = \int \frac{u_{1}}{2} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Étape 6.2.3

Associez $\frac{u_{1}}{2}$ et $e^{{u_{1}}^{2}}$ .

$e^{x^{4}} y = \int \frac{u_{1} e^{{u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

Étape 6.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{2} \int u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Étape 6.4

Laissez $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Alors $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 6.4.1

Laissez $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 6.4.1.1

Différenciez ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Étape 6.4.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u_{1}$

Étape 6.4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 6.5

Associez $e^{u_{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Étape 6.6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Étape 6.7

Simplifiez

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Étape 6.7.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 6.7.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 6.8

L’intégrale de $e^{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $e^{u_{2}}$ .

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C)$

Étape 6.9

Simplifiez

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

Étape 6.10

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 6.10.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par ${u_{1}}^{2}$ .

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{4} e^{{u_{1}}^{2}} + C$

Étape 6.10.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2}$ .

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2}} + C$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $e^{x^{4}} y = \frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2}} + C$ par $e^{x^{4}}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $e^{x^{4}} y = \frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2}} + C$ par $e^{x^{4}}$ .

$\frac{e^{x^{4}} y}{e^{x^{4}}} = \frac{\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2}}}{e^{x^{4}}} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{x^{4}}$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{x^{4}} y}{e^{x^{4}}} = \frac{\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2}}}{e^{x^{4}}} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2}}}{e^{x^{4}}} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.3.1.1

Annulez le facteur commun à $e^{{(x^{2})}^{2}}$ et $e^{x^{4}}$ .

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Étape 7.3.1.1.1

Factorisez $e^{x^{4}}$ à partir de $\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2}}$ .

$y = \frac{e^{x^{4}} (\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2} - x^{4}})}{e^{x^{4}}} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

Étape 7.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.3.1.1.2.1

Multipliez par $1$ .

$y = \frac{e^{x^{4}} (\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2} - x^{4}})}{e^{x^{4}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

Étape 7.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{e^{x^{4}} (\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2} - x^{4}})}{e^{x^{4}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

Étape 7.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2} - x^{4}}}{1} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

Étape 7.3.1.1.2.4

Divisez $\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2} - x^{4}}$ par $1$ .

$y = \frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2} - x^{4}} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

Étape 7.3.1.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 7.3.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{1}{4} e^{x^{2 \cdot 2} - x^{4}} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

Étape 7.3.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{1}{4} e^{x^{4} - x^{4}} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

Étape 7.3.1.3

Soustrayez $x^{4}$ de $x^{4}$ .

$y = \frac{1}{4} e^{0} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

Étape 7.3.1.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$y = \frac{1}{4} \cdot 1 + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

Étape 7.3.1.5

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$y = \frac{1}{4} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$