Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2}}{2 y + \sin (y)}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $2 y + \sin (y)$ .

$(2 y + \sin (y)) \frac{d y}{d x} = (2 y + \sin (y)) \frac{6 x^{2}}{2 y + \sin (y)}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $2 y + \sin (y)$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$(2 y + \sin (y)) \frac{d y}{d x} = (2 y + \sin (y)) \frac{6 x^{2}}{2 y + \sin (y)}$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$(2 y + \sin (y)) \frac{d y}{d x} = 6 x^{2}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$(2 y + \sin (y)) d y = 6 x^{2} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int 2 y + \sin (y) d y = \int 6 x^{2} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 2 y d y + \int \sin (y) d y = \int 6 x^{2} d x$

Étape 2.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int y d y + \int \sin (y) d y = \int 6 x^{2} d x$

Étape 2.2.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int \sin (y) d y = \int 6 x^{2} d x$

Étape 2.2.4

L’intégrale de $\sin (y)$ par rapport à $y$ est $- \cos (y)$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - \cos (y) + C_{2} = \int 6 x^{2} d x$

Étape 2.2.5

Simplifiez

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Étape 2.2.5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - \cos (y) + C_{2} = \int 6 x^{2} d x$

Étape 2.2.5.2

Simplifiez

$y^{2} - \cos (y) + C_{3} = \int 6 x^{2} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$y^{2} - \cos (y) + C_{3} = 6 \int x^{2} d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y^{2} - \cos (y) + C_{3} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4})$

Étape 2.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4})$ comme $6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$ .

$y^{2} - \cos (y) + C_{3} = 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Étape 2.3.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.3.2.1

Associez $6$ et $\frac{1}{3}$ .

$y^{2} - \cos (y) + C_{3} = \frac{6}{3} x^{3} + C_{4}$

Étape 2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun à $6$ et $3$ .

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Étape 2.3.3.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$y^{2} - \cos (y) + C_{3} = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{3} + C_{4}$

Étape 2.3.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.3.2.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$y^{2} - \cos (y) + C_{3} = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{3} + C_{4}$

Étape 2.3.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y^{2} - \cos (y) + C_{3} = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{4}$

Étape 2.3.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y^{2} - \cos (y) + C_{3} = \frac{2}{1} x^{3} + C_{4}$

Étape 2.3.3.2.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$y^{2} - \cos (y) + C_{3} = 2 x^{3} + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y^{2} - \cos (y) = 2 x^{3} + K$