Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} d x + y e d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $x^{2} d x$ des deux côtés de l’équation.

$y e d y = - x^{2} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y e d y = \int - x^{2} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Comme $e$ est constant par rapport à $y$ , placez $e$ en dehors de l’intégrale.

$e \int y d y = \int - x^{2} d x$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$e (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int - x^{2} d x$

Étape 2.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.2.3.1

Réécrivez $e (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ comme $e \frac{1}{2} y^{2} + C_{1}$ .

$e \frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x^{2} d x$

Étape 2.2.3.2

Associez $e$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{e}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x^{2} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{e}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x^{2} d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{e}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Étape 2.3.3

Réécrivez $- (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ comme $- \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$ .

$\frac{e}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{e}{2} y^{2} = - \frac{1}{3} x^{3} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{2}{e}$ .

$\frac{2}{e} (\frac{e}{2} y^{2}) = \frac{2}{e} (- \frac{1}{3} x^{3} + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $\frac{2}{e} (\frac{e}{2} y^{2})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{e}{2}$ et $y^{2}$ .

$\frac{2}{e} \cdot \frac{e y^{2}}{2} = \frac{2}{e} (- \frac{1}{3} x^{3} + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Associez.

$\frac{2 (e y^{2})}{e \cdot 2} = \frac{2}{e} (- \frac{1}{3} x^{3} + K)$

Étape 3.2.1.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (e y^{2})}{e \cdot 2} = \frac{2}{e} (- \frac{1}{3} x^{3} + K)$

Étape 3.2.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{e y^{2}}{e} = \frac{2}{e} (- \frac{1}{3} x^{3} + K)$

Étape 3.2.1.1.4

Annulez le facteur commun de $e$ .

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Étape 3.2.1.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e y^{2}}{e} = \frac{2}{e} (- \frac{1}{3} x^{3} + K)$

Étape 3.2.1.1.4.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = \frac{2}{e} (- \frac{1}{3} x^{3} + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $\frac{2}{e} (- \frac{1}{3} x^{3} + K)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Simplifiez les termes.

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Étape 3.2.2.1.1.1

Associez $x^{3}$ et $\frac{1}{3}$ .

$y^{2} = \frac{2}{e} (- \frac{x^{3}}{3} + K)$

Étape 3.2.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = \frac{2}{e} (- \frac{x^{3}}{3}) + \frac{2}{e} K$

Étape 3.2.2.1.1.3

Multipliez $\frac{2}{e}$ par $\frac{x^{3}}{3}$ .

$y^{2} = - \frac{2 x^{3}}{e \cdot 3} + \frac{2}{e} K$

Étape 3.2.2.1.1.4

Associez $\frac{2}{e}$ et $K$ .

$y^{2} = - \frac{2 x^{3}}{e \cdot 3} + \frac{2 K}{e}$

Étape 3.2.2.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $e$ .

$y^{2} = - \frac{2 x^{3}}{3 e} + \frac{2 K}{e}$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{- \frac{2 x^{3}}{3 e} + \frac{2 K}{e}}$

Étape 3.4

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{2 x^{3}}{3 e} + \frac{2 K}{e}}$ .

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Étape 3.4.1

Pour écrire $\frac{2 K}{e}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{2 x^{3}}{3 e} + \frac{2 K}{e} \cdot \frac{3}{3}}$

Étape 3.4.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $3 e$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.4.2.1

Multipliez $\frac{2 K}{e}$ par $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{2 x^{3}}{3 e} + \frac{2 K \cdot 3}{e \cdot 3}}$

Étape 3.4.2.2

Réorganisez les facteurs de $e \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{2 x^{3}}{3 e} + \frac{2 K \cdot 3}{3 e}}$

Étape 3.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{\frac{- 2 x^{3} + 2 K \cdot 3}{3 e}}$

Étape 3.4.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{3} + 2 K \cdot 3$ .

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Étape 3.4.4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (- x^{3}) + 2 K \cdot 3}{3 e}}$

Étape 3.4.4.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 K \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (- x^{3}) + 2 (K \cdot 3)}{3 e}}$

Étape 3.4.4.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x^{3}) + 2 (K \cdot 3)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (- x^{3} + K \cdot 3)}{3 e}}$

Étape 3.4.4.2

Déplacez $3$ à gauche de $K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (- x^{3} + 3 K)}{3 e}}$

Étape 3.4.5

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 (- x^{3} + 3 K)}{3 e}}$ comme $\frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3 e}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3 e}}$

Étape 3.4.6

Multipliez $\frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3 e}}$ par $\frac{\sqrt{3 e}}{\sqrt{3 e}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3 e}} \cdot \frac{\sqrt{3 e}}{\sqrt{3 e}}$

Étape 3.4.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.7.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3 e}}$ par $\frac{\sqrt{3 e}}{\sqrt{3 e}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)} \sqrt{3 e}}{\sqrt{3 e} \sqrt{3 e}}$

Étape 3.4.7.2

Élevez $\sqrt{3 e}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)} \sqrt{3 e}}{{\sqrt{3 e}}^{1} \sqrt{3 e}}$

Étape 3.4.7.3

Élevez $\sqrt{3 e}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)} \sqrt{3 e}}{{\sqrt{3 e}}^{1} {\sqrt{3 e}}^{1}}$

Étape 3.4.7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)} \sqrt{3 e}}{{\sqrt{3 e}}^{1 + 1}}$

Étape 3.4.7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)} \sqrt{3 e}}{{\sqrt{3 e}}^{2}}$

Étape 3.4.7.6

Réécrivez ${\sqrt{3 e}}^{2}$ comme $3 e$ .

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Étape 3.4.7.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3 e}$ comme ${(3 e)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)} \sqrt{3 e}}{{({(3 e)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.4.7.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)} \sqrt{3 e}}{{(3 e)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.4.7.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)} \sqrt{3 e}}{{(3 e)}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.4.7.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.7.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)} \sqrt{3 e}}{{(3 e)}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.4.7.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)} \sqrt{3 e}}{{(3 e)}^{1}}$

Étape 3.4.7.6.5

Simplifiez

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)} \sqrt{3 e}}{3 e}$

Étape 3.4.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.8.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K) (3 e)}}{3 e}$

Étape 3.4.8.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (- x^{3} + 3 K) e}}{3 e}$

Étape 3.4.9

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\pm \frac{\sqrt{6 (- x^{3} + 3 K) e}}{3 e}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 e (- x^{3} + 3 K)}}{3 e}$

Étape 3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{\sqrt{6 e (- x^{3} + 3 K)}}{3 e}$

Étape 3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{\sqrt{6 e (- x^{3} + 3 K)}}{3 e}$

Étape 3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{\sqrt{6 e (- x^{3} + 3 K)}}{3 e}$

$y = - \frac{\sqrt{6 e (- x^{3} + 3 K)}}{3 e}$

$y = \frac{\sqrt{6 e (- x^{3} + 3 K)}}{3 e}$

$y = - \frac{\sqrt{6 e (- x^{3} + 3 K)}}{3 e}$

$y = \frac{\sqrt{6 e (- x^{3} + 3 K)}}{3 e}$

$y = - \frac{\sqrt{6 e (- x^{3} + 3 K)}}{3 e}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\sqrt{6 e (- x^{3} + K)}}{3 e}$

$y = - \frac{\sqrt{6 e (- x^{3} + K)}}{3 e}$