Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{2} + 4 x$ solve $x \frac{d y}{d x} = x^{2} + y$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle.

$x y' = x^{2} + y$

Étape 2

Déterminez $y'$ .

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Étape 2.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x)$

Étape 2.2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 2.3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.1

Différenciez.

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Étape 2.3.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 4 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 2.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 2.3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Étape 2.3.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 4 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x + 4 \cdot 1$

Étape 2.3.2.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$2 x + 4$

Étape 2.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = 2 x + 4$

Étape 3

Remplacez dans l’équation différentielle donnée.

$x (2 x + 4) = x^{2} + x^{2} + 4 x$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (2 x) + x \cdot 4 = x^{2} + x^{2} + 4 x$

Étape 4.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 x \cdot x + x \cdot 4 = x^{2} + x^{2} + 4 x$

Étape 4.3

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$2 x \cdot x + 4 \cdot x = x^{2} + x^{2} + 4 x$

Étape 4.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.4.1

Déplacez $x$ .

$2 (x \cdot x) + 4 \cdot x = x^{2} + x^{2} + 4 x$

Étape 4.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 x^{2} + 4 \cdot x = x^{2} + x^{2} + 4 x$

$2 x^{2} + 4 x = x^{2} + x^{2} + 4 x$

Étape 4.5

Additionnez $x^{2}$ et $x^{2}$ .

$2 x^{2} + 4 x = 2 x^{2} + 4 x$

Étape 5

La solution donnée respecte l’équation différentielle donnée.

$y = x^{2} + 4 x$ est une solution à $x y' = x^{2} + y$